大學微積分題解-二變數函數的極限

定義簡單說明

若對所有足夠靠近某點 (x₀,y₀) 的點 (x,y)，函數 f(x,y) 的值都會趨近某個固定實數 L，我們就說:

這與單變數函數的極限概念類似。

注意事項

• 點 (x,y) 可以從任意方向靠近 (x₀,y₀) ，而不只是從左邊或右邊。
• 極限要存在，必須無論從哪個方向趨近，都要得到同一個極限值 L。

這也就是為什麼多變數極限的判別比單變數更複雜。

解題說明

計算下列極限:

說明:

當 (x,y)→(0,0) 時，整個式子為「0 / 0​」的不定形式，不能直接計算極限:

我們透過將整個式子乘上:

即:

分母變為:

分子展開:

→ 所以整個式子可化為

約掉 x−y，最後只剩下:

最終本題答案為0。

• 另外請注意，多變數函數有別於單變數函數，不能使用羅必達法則~

多變數函數的連續性

就像單變數一樣，多變數函數的連續性定義也是建立在極限的基礎上。

一個函數 f(x,y) 在某點 (x₀,y₀) 處是連續的，需同時滿足以下三個條件:

1. 函數在該點有定義

2. 函數在該點的極限存在

3. 函數值與極限值相等

最後，如果函數在其定義域的每個點上都是連續的，則該函數是連續的。

連續的判斷練習

Example 1

證明函數:

在原點 不連續，但在原點以外的每一點都連續。

因為當 (x,y)≠(0,0) 時，f(x,y) 是由一個有理式（rational expression）組成，分母不為零 ⇒ 函數在這些點是連續的。

現在我們必須檢查極限是否存在且等於定義值 f(0,0)=0

• 這邊使用路徑檢驗法: 使用不同路徑來逼近 (0,0)

令直線路徑為 y=mx，代入得

得出結論:

• 不同斜率 m 得到不同極限值
• 所以沒有單一極限值
• ⇒ 原點極限不存在 ⇒ 函數在原點 不連續

下圖為本題不同路徑所帶來不同值的示意圖:

Example 2

證明函數:

在點 (0,0) 處的極限不存在。

當 (x,y)→(0,0) 時，分母與分子都趨近於 0 ⇒ 為不定型，不能直接代入求解。

同樣使用路徑檢驗法，選擇不同路徑來逼近(0,0)。

我們選擇路徑 y=kx²（拋物線型），將其帶入:

• 這個值只取決於 k（不同路徑 ⇒ 不同極限）。

舉例來說，若從 y=x²（即 k=1）趨近，極限為:

若從 y=0（即 k=0，x 軸方向）趨近，極限為0。

下圖為本題不同路徑所帶來不同值的示意圖:

不知道讀者會不會有這個疑問，我怎麼知道要選 y=mx 還是 y=kx²，甚至其他路徑？

這背後牽涉到「選路徑的目的與技巧」，以下是完整的拆解說明:

• 路徑類型y=mx
• • 最常見的測試路徑，簡單代入，能快速檢查「線性方向」的極限
• 路徑類型y=kx²
• • 測試 非線性趨近，特別是當函數中包含 x²,y² 類似的結構時，適用場合為函數有高次項或平方時。

最後，你當然也可以挑選一條 y = x 和 y = 0 兩條路徑來測試，總而言之只要觀察到兩路徑不同，題目就沒有單一極限值。