大學微積分題解-多變數函數的認識

多變數函數定義

若某函數 f 的輸入為兩個或以上的變數，則稱為多變數函數（Function of Several Variables）。最常見的為二變數函數:

意思是：對每對數值 (x,y)，函數給出一個對應的實數值 z。

應用中的命名方式與實例

若要描述一個圓柱體體積的函數，我們可能會使用其半徑 r 和高 h 作為自變數，則體積 V 可表示為:

更具體地，我們可寫出此函數的形式為:

定義域與對應值域

在定義多變數函數時，我們遵循的原則是排除那些會導致例如除以零的輸入值。例如:

函數的定義域（domain），通常是指能讓函數產生實數結果的最大集合（除非另有指定），而值域（range）是應變數（輸出值）所能取到的所有實數集合。

圖形與空間直觀

• 二變數函數 f(x,y) 的圖形是三維空間中的曲面，由所有點 (x, y, f(x,y)) 所構成。
• 將函數值固定（如 f(x,y)=c），繪製在 xy-平面上，可視為地圖的等高線。等高線圖是理解函數變化非常直觀的工具。

對於一個二變數函數 f(x,y))，我們有兩種常見的方式來視覺化它的值:

• 方式一：畫出等值曲線（Level Curves）
• • 在 xy 平面上，找出所有使 f(x,y)=c 成立的點，這些點形成的曲線就是等值曲線
  • 每一條等值曲線代表函數的一個固定輸出值
• 方式二：畫出三維圖形
• • 將函數畫在三維空間中，以 z=f(x,y) 表示
  • 得到的圖形是一個曲面（surface）

小補充

• 如果你將函數圖形視為三維空間中的曲面 z=f(x,y)
• 將水平平面 z=c 切過此曲面，得到的交線稱為 等高曲線（contour curve）
• 與「等值曲線（level curve）」不同的是：
  • Level curve：在 xy 平面中表示 f(x,y)=c 的點
  • Contour curve：在三維空間中，表示 z=f(x,y)=c 的點組成的空間曲線

範例練習

題目

解釋與分析

首先定義域與值域:

• 函數定義在整個 xy-平面上。
• 值域為 f(x,y)≤100 ，因為最大值發生在 x=0,y=0，此時 f(0,0)=100。

再來分析等值曲線:

等值曲線定義為 f(x,y)=c，將函數代入:

• f(x,y)=0

→ 圓心在原點、半徑為 10 的圓

• f(x,y)=51

• f(x,y)=75

• f(x,y)=100

• 再來若 x² + y² > 100

例如 x² + y² = 144，則:

→ 所以 x² + y² = 144 也是一個等值曲線（值為 -44）

圖形示意

The level curves lie in the xy-plane

The contour curve f(x, y) = 100 − x² − y² = 75