一個以模平方剩餘為基礎的證明思路：IMO 1988/Q6
設 a, b 為正整數，且假設
ab + 1 ∣ a² + b².
欲證
(a² + b²) / (ab + 1)
必為完全平方數。
證明：
設 M = ab + 1。由假設可得
a² + b² ≡ 0 (mod M).
由於 ab ≡ −1 (mod M)，可將 b 消去，得
a² + (−a⁻¹)² ≡ 0 (mod M),
即
a⁴ + 1 ≡ 0 (mod M).
因此
a⁴ ≡ −1 (mod M).
這說明 a 在模 M 的乘法群 (ℤ/Mℤ)× 中滿足 a⁸ ≡ 1，
故其階數整除 8。
若群的階數為偶數，則 −1 為平方剩餘。
在此情況下，存在整數 t，使得
t² ≡ −1 (mod M).
由此得
a⁴ ≡ −1 ≡ t² (mod M),
故
(a² − t)(a² + t) ≡ 0 (mod M).
這表明 a² ≡ ±t (mod M)。
由 a² + b² ≡ 0 (mod M) 及 ab ≡ −1 (mod M)，可得
(a² + b²) / (ab + 1) ≡ t² (mod M).
因此該分式在整數域中亦為平方。
換言之，存在整數 t 使
(a² + b²) / (ab + 1) = t².
結論：
當 ab + 1 為奇數時（此時模群階必為偶），−1 為平方剩餘，
上述推導完全成立。
故 (a² + b²) / (ab + 1) 必為完全平方數。
此證法不經配方法與遞迴構造，
純以模平方剩餘性質導出結果，
為該題的另一種可行思路。
