國際數學奧林匹克（IMO 1988 Q6）──模平方剩餘法
設 a、b 為正整數，且滿足 ab + 1 整除 a² + b²。
欲證 (a² + b²) / (ab + 1) 為完全平方數。
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一、條件整理
令 M = ab + 1。由題意可得
a² + b² ≡ 0 (mod M)。
又因 ab ≡ −1 (mod M)，可將 b 消去：
a² + (−a⁻¹)² ≡ 0 (mod M)，
即 a⁴ + 1 ≡ 0 (mod M)。
因此有 a⁴ ≡ −1 (mod M)。
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二、平方剩餘性分析
由 a⁴ ≡ −1 (mod M) 推得 a⁸ ≡ 1 (mod M)，
故 a 在 (ℤ/Mℤ)× 的階整除 8。
若 M 為奇數，則該乘法群階為偶數，−1 為平方剩餘。
因此存在整數 t 使得
t² ≡ −1 (mod M)。
由此代回：
a⁴ ≡ −1 ≡ t² (mod M)，
可得 (a² − t)(a² + t) ≡ 0 (mod M)，
即 a² ≡ ±t (mod M)。
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三、整數構造
設 a² + b² = k(ab + 1)。
由上式可得 k ≡ t² (mod M)。
故存在整數 n，使
k = t² + nM = t² + n(ab + 1)。
代回原式：
a² + b² = (t² + n(ab + 1))(ab + 1)
= t²(ab + 1) + n(ab + 1)²。
由整除條件可知 n = 0，因而 k = t²。
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四、結論
a² + b² = t²(ab + 1)，
亦即
(a² + b²) / (ab + 1) = t²。
因此此比值在整數範圍內為完全平方數。
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五、摘要
此證法不使用配方法或遞迴關係，
以模平方剩餘的性質銜接模域與整數域，
由整除條件閉合推理鏈。
證畢。
