GRSS relativity 001
先從熟悉的直角交叉 (正交) 的x、y 二軸開始。
x 軸的某位置、對應於y 軸的某位置，交會出二維平面上的一個點(x, y)。再由點(x, y) 往三度空間上、對應於z 軸的某位置、交會出三維空間上一個點f，這個f、是由點(x, y) 往上對應得到的，表示為f(x, y)。
由f 的視角出發，f 移動到另一個鄰近點f +df，二者的差df、可表示為：
df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy
其中，d 代表small distance。
可以看到，上述內容、是從看似什麼都沒有的一片空無中，純然憑藉思考的犀利切入、勾勒出一座具體的邏輯結構，該結構、並非經由定義、人為地恣意架構起來，而是憑藉類似手電筒射出的探照光束、向前方摸索出一條道路，那道路、是本來就存在在那裡的，並非被創建、只是被發現而已。
此方法的創始者、為笛卡兒 (Rene Descartes)，他將幾何圖型的相對位置、用座標標號，使之成為可運算、可分析的對象，稱為「解析幾何」(analytic geometry)。
如前所述，Descartes 的解析方法、好比手電筒的光束、探照前方的黑暗，他因此而提出著名的箴言「我思故我在」，並繼而論斷：只有思維、才是唯一的真實，思維以外的其他一切、都是不可信、和不可憑的，亦即：doubt everything except my mind；和佛教的禪宗方法相比，他未能嘗試倒轉其手電筒、來懷疑自己的思維之本源，也就是：doubt the source of my mind also，因而，終究只是「看到」、而沒能夠「看透」。
GRSS relativity 002
有兩組座標系，一是直角座標(x, y)，另一是極座標(r, θ)。今將二者的元素互相對對方微分，就是Jacobian 所欲闡釋的。
計算的內容非十分重要，所欲表明的、是：「正向」和「逆向」、好比位於「分子」和「分母」(倒數) 一般。
GRSS relativity 003
此節亦只是計算，意在證明前節所述的、Jacobian 的「正向」(forward) 和「逆向」(reversed)、好比位於「分子」和「分母」(倒數)，二者相乘等於1。
GRSS relativity 004
此節並無計算、主要是概念的提出，而概念往往較計算更為抽象、本質。
打個比方，假設在筆記本上畫了很多直橫交錯的行線，這些行線、就是coordinates 概念的發想之處；座標的作用、在於標示頁上的某個點、位在第幾行第幾列。
然而，頁上的行線、並非定要如此不可，也可以畫成圈圈、或任意曲線、皆無妨，一樣可以標示出原本的那個點；頁上的點、可映射於客觀的事實，而行線、則是用以理解、定位、或解讀某個點、位在座標體系之哪個位置的憑藉與參考，故，座標體系、可視為是我人主觀的思維判斷，此即笛卡兒的「解析」(analysis) 之意義。
好比，一朵花，在佛看來、是佛性，在生物學家看來、是生殖器官，而在畫家詩人看來、則是美的化身；這些不同的觀點、喻如不同的座標系，而花、則是座標上的一個點、或一個圖型，是客觀的，隨每人的觀點、而有解讀之不同。
就現象之變化而言，若僅著重於「有」變化、而非「如何」變化，則單線的進程已足，如《道德經》的「道生一、一生二、二生三、三生萬物」等。
然，若著重於現象「如何」變化，則還要考慮變化的「量」有多大，因而，該大小、需另援單位一、以作為比較；以是之故，可思考二軸：x 軸、作為參考值、維持單位一之進程，如時間，至於y 軸、則有變化量的大小之別，如位移，結合二軸、即產生了諸如位移函數的概念，而更進可分析其速度變化之程度。
在二維平面上、由一點移動到另一鄰近點時，x 軸方向之改變、表為dx，y 軸方向之改變、表為dy。
綜合二相異性質之改變、生出「變化」之概念，其變化之程度、可表為：dy : dx = dy / dx。
前者、為比值，後者、為分數 (即數線上一點之數值)；當y 與x 為相異單位時，雖仍以分數形式示之，但實際上，應視為比值、而非分數才是；故，變化、即比值。
以是之故，言「有」變化、則一維的線性進程已足，但若欲言「如何」變化、則需另有一參考值、以衡量變化之程度，故，至少需有x、y 二軸。
可以說：以二維、來衡量變化之「程度」、即科學，而以一維、來形容變化之「有無」、乃是哲學耳。
由此、遂點出並釐清科學與哲學之關鍵不同也。
笛卡兒的座標體系之發明、可謂開創科學分析方法之先河，自此，西方物理學便完全擺脫哲學之思考；而在東方哲學中、是否亦存在類似前述的二維分析？可認為，即便中國古代數學在諸如求解多元方程式和計算圓周率方面、有長足的進展，但仍欠缺以座標體系為基礎的科學分析之思維。
不過，若就哲學之高度而言，笛卡兒作為哲學家、至多、僅返回到思維本身、並以其為知識建立之基礎，而未曾找到能夠超越思維本身的方法，故其哲學、應稱之為「現象之哲學」，作為科學的基礎、一如後世胡塞爾 (Husserl) 提出的「現象學」，然而，哲學之目的、應尚能達到超越思維本身之境地、即「本體之哲學」所欲完成者，笛卡兒則未能達到此地步。
總言之，「座標 = 思維」，二維座標、如直角座標(x, y)、和極座標(h, θ) 等、相當於科學思維，至於一維座標、則相當於哲學思維。
哲學思想中，有德國黑格爾的「正、反、合」，印度婆羅門的「有、無、亦有亦無、非有非無」之四句， 天台宗的「假、空、中」三諦，三論宗的「四重二諦」等，形式的表現各有不同，但其本質、皆是一維數線的二進位邏輯之辯證而已，亦即：00、01、10、11。
無論哲學如何演變、用幾進位的邏輯辯證包裝，皆不出一維之進程；而科學的二維分析、如微積分等、雖能描述物理現象的「如何」，亦僅限於在思維的層面發掘與深入，卻無能如禪宗的方法、超越思維本身之框限。
GRSS relativity 005
此節意在闡明：不論直角座標、抑或極座標的Jacobian，其「正」乘以「逆」、皆等於單位矩陣。
與其說是證明，不如說是驗證；因為，證明之普遍性、應援用普遍的函數運算完成，而非以實例、來展示片面的運算之結果。
GRSS relativity 006
Coordinate bases 乃藉由座標體系之創設，將三維空間上的某個曲面：P(x, y) = [X(x, y), Y(x, y), Z(x, y)]、
投影到二維平面上，構成點P(x, y) = [X(x, y), Y(x, y), 0]，
而由三維空間上特定點P 的微小變動、得到二維平面上沿著座標軸各分量的微小移動，稱為「座標基底」(coordinate bases)。
原本，在二維平面上，由一點移動到另一鄰近點時，x 軸方向之變化、表為dx，而y 軸方向之變化、表為dy。
變化之程度、即為：dy : dx = dy / dx
現在，將此概念擴展到三維空間，當空間上一點P 移動到另一鄰近點時，其在x 軸方向之變化、表為∂P/∂x，而在y 軸方向之變化、表為∂P/∂y。
變化之程度、即分別為：∂P : ∂x = ∂P/∂x、和 ∂P : ∂y = ∂P/∂y。
與前節之不同在於：f 是對應於二維平面上的點(x, y)、而標示在三維空間上的一個純量值，相對地，P 則是三維空間上的一個點，其微小的變動、則是一個向量，所以，∂P/∂x 和∂P/∂y 都是向量、而非純量值。
∂P/∂x 表為𝐞ₓ，∂P/∂y 則表為𝐞ᵧ。
此即：
𝐞ₓ = [1, 0, ∂f/∂x]
𝐞ᵧ = [0, 1, ∂f/∂y]
在三維空間中，任意一點P 的微小移動、可分解為：x 軸方向、與y 軸方向的微小移動之組合，而，二方向的微小移動，又可各以座標基底乘以一個數值、表示為：
dP
= eₓ dx + eᵧ dy
= [dx, 0, ∂f/∂x dx] + [0, dy, ∂f/∂y dy]
= [dx, dy, ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy]
此即第一節之一般化。
綜合直角座標(x, y) 與極座標(h, θ) 二座標系：
∂P/∂h = ∂P/∂x ∂x/∂h + ∂P/∂y ∂y/∂h
∂P/∂θ = ∂P/∂x ∂x/∂θ + ∂P/∂y ∂y/∂θ
若P(x, y) = [x, y, 0]，則P 是與(x, y, 0) 無異的點。
其轉換為：
∂P/∂h = [1, 0] cosθ + [0, 1] sinθ
∂P/∂θ = [1, 0] (-h sinθ) + [0, 1] (h cosθ)
但若P(x, y) = [X(x, y), Y(x, y), 0]，因前二分量是任意函數，故P 是二維平面上的向量場。
將第一例的P 擴展到三維空間之視角，即：
P(x, y) = [x, y, f(x, y)]
其偏導數為：
∂P/∂h = [1, 0, ∂f/∂x] cosθ + [0, 1, ∂f/∂y] sinθ
∂P/∂θ = [1, 0, ∂f/∂x] (-h sinθ) + [0, 1, ∂f/∂y] (h cosθ)
援此、與前述二維平面上的微小移動比較：若P 是三維空間上的一點，當其移動到另一點鄰近點時，其第三分量的f 的值、在x 軸方向之變化為∂x，而在y 軸方向之變化則為∂y。
變化程度、分別為：∂z : ∂x = ∂f/∂x = gₓ、和 ∂z : ∂y = ∂f/∂y = gᵧ。
發明者如Riemannian、Ricci-Curbastro、Levi-Civita 等、能從笛卡兒座標、如此樸素的想法出發，將思維所能探至的數學理論之領域、深化到這種程度，著實天才。
GRSS relativity 007
此節、不過將上節的座標基底向量之轉換、以一般化的形式表示。
GRSS relativity 008
就梯度向量的元素值 (分量) 而言，亦可如座標基底向量一般轉換。
設梯度為：∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) = (gₓ, gᵧ)，則有：
∂f/∂x = ∂f/∂h ∂h/∂x + ∂f/∂θ ∂θ/∂x
∂f/∂y = ∂f/∂h ∂h/∂y + ∂f/∂θ ∂θ/∂y
此即：
gₓ = gₕ ∂h⁄∂x + gₒ̃ ∂θ⁄∂x
gᵧ = gₕ ∂h⁄∂y + gₒ̃ ∂θ⁄∂y
那麼，梯度向量之本身、是否亦如座標基底向量一般轉換呢？
答案是：否；因為，座標基底向量是逆變分量的承載者，而梯度向量則是協變向量，其分量展開於座標基底向量的「對偶基底」(dual basis) 上，故，梯度向量在座標變換下的轉換方式、與座標基底向量的轉換方式、恰好相反。
亦即，梯度向量、為座標基底向量的對偶基底之線性組合，屬協變向量。
例如，當P(x, y) = [x, y, f(x, y)] 時，
∂P/∂x = eₓ = [1, 0, ∂f/∂x]
∂P/∂y = eᵧ = [0, 1, ∂f/∂y]
二維函數的梯度向量之分量、分別對應上述三維曲面切平面的基底向量之z 分量，此即：
∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) = (gₓ, gᵧ)
而二維平面上的座標基底向量、是為上述三維曲面切平面的基底向量之投影。
如前節所述，在三維空間中，任意一點P 的微小移動、可分解為：x 軸方向、與y 軸方向的微小移動之組合，而，二方向的微小移動，又可各以座標基底乘以一個數值、表示為：
dP
= eₓ dx + eᵧ dy
= [dx, 0, ∂f/∂x dx] + [0, dy, ∂f/∂y dy]
= [dx, dy, ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy]
以是之故，該二維平面上的梯度向量(gₓ, gᵧ)、其所展開之基底dx 和dy、即為座標基底向量eₓ = [1, 0] 和eᵧ = [0, 1] 的「對偶基底」(dual basis)；而梯度向量、即是該對偶基底的線性組合。
此即：
df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy = gₓ dx + gᵧ dy
事實上，垂直於三維曲面切平面的法向量為：
n = eₓ × eᵧ = [1, 0, ∂f/∂x] × [0, 1, ∂f/∂y] = (-∂f/∂x, -∂f/∂y, 1)
而：
-n = (∂f/∂x, ∂f/∂y, -1)
其在二維平面上之投影、即梯度向量；此亦即「餘切」(cotangent) 的概念。
現、若由另一視角切入，因P(x, y) = [x, y, f(x, y)] 與z = f(x, y) 等價，
故，可將0 = f(x, y) - z 視為是四維空間中w = 0 之特殊情況。
因而：
∇w = (∂w/∂x, ∂w/∂y, ∂w/∂z) = (∂f/∂x, ∂f/∂y, -1)
該向量垂直於等位曲面w = 0，其在二維平面上之投影、即梯度向量。
GRSS relativity 009
Co-、即下標與J 的分子對應、並求合，contra-、即上標與J⁻¹ 的分母對應、並求合。
首先說明，何謂contra-variant component？
舉例言之，當基底向量本身的長度變大時，為表示原向量的同一性，變化後各基底向量所乘以的係數值、需變小，稱「逆變」(contra-variant)。
一般而言，即轉換時、需乘以J⁻¹。
其次說明，何謂co-variant component？
舉例言之，當對偶基底向量本身的長度變大時，同一向量作用於其上的結果、如內積、功、或直角投影值、亦同時變大，稱「協變」(co-variant)。
一般而言，即轉換時、需乘以J。
GRSS relativity 010
座標基底向量之轉換如下：
∂P/∂𝑥ⁱ = ∂P/∂𝑥̄¹ ∂𝑥̄¹/∂𝑥ⁱ + ∂P/∂𝑥̄² ∂𝑥̄²/∂𝑥ⁱ
上式相當於：
eᵢ = ē₁ ∂x̄¹/∂xⁱ + ē₂ ∂x̄²/∂xⁱ = ∑ⱼ ēⱼ ∂x̄ʲ/∂xⁱ
任意向量、可以在不同的座標系中表示為、其分量乘以座標基底向量之總和：
V = ∑ᵢ Vⁱ eᵢ = ∑ⱼ V̄ʲ ēⱼ
而：
∑ᵢ Vⁱ eᵢ
= ∑ᵢ Vⁱ (∑ⱼ ēⱼ ∂x̄ʲ⁄∂xⁱ)
= ∑ᵢ Vⁱ ∑ⱼ ēⱼ ∂x̄ʲ⁄∂xⁱ
= ∑ⱼ ēⱼ ∑ᵢVⁱ ∂x̄ʲ⁄∂xⁱ
= ∑ⱼ ēⱼ (∑ᵢVⁱ ∂x̄ʲ⁄∂xⁱ)
= ∑ⱼ ēⱼ V̄ʲ
是故，
V̄ʲ = ∑ᵢVⁱ ∂x̄ʲ⁄∂xⁱ = V¹ ∂x̄ʲ⁄∂x¹ + V² ∂x̄ʲ⁄∂x²
此即：
Vʲ = ∑ᵢV̄ⁱ ∂xʲ⁄∂x̄ⁱ = V̄¹ ∂xʲ⁄∂x̄¹ + V̄² ∂xʲ⁄∂x̄²
亦即：
Vⁱ = ∑ⱼ V̄ʲ ∂xⁱ⁄∂x̄ʲ = V̄¹ ∂xⁱ⁄∂x̄¹ + V̄² ∂xⁱ⁄∂x̄²
可以看到，任意向量的元素值 (分量) 在座標變換下之展開，和其座標基底向量轉換的上下標對應、恰好相反，故稱「逆變」(contra-variant)。
GRSS relativity 011
就梯度向量的元素值 (分量) 而言，亦可如座標基底向量一般轉換。
如前節所言，設梯度為：∇f = (∂f/∂x¹, ∂f/∂x²) = (g₁, g₂)，則有：
∂f/∂𝑥ⁱ= ∂f/∂𝑥̄¹ ∂𝑥̄¹/∂𝑥ⁱ + ∂f/∂x̄² ∂x̄²/∂𝑥ⁱ
前式相當於：
gᵢ = ḡ₁ ∂x̄¹/∂xⁱ + ḡ₂ ∂x̄²/∂xⁱ = ∑ⱼ ḡⱼ ∂x̄ʲ/∂xⁱ
可以看到，梯度向量的元素值 (分量) 在座標變換下之展開，和座標基底向量轉換的上下標對應、恰好一致，故稱「協變」(co-variant)。
