尋犀記 (9)

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九、協變導數

在平坦的歐式平面 (flat Euclidean plane) 上,方向導數 (directional derivative) 被定義為、兩個鄰近的點的方向向量之差,這也就是,把一個向量、平行輸運 (parallel transport) 到另一個向量的原點之上,然後求它們的差。

此時,我們無須掛心、基底向量由於座標改變所導致的變異為何;這是因為,在平坦的平面上,向量平行移動、不會有基底向量隨著改變之效應產生,換句話說,「向量從某個點、平行移動到另一個點、而仍然能夠保持恆定」,在平坦平面的範圍內、是有意義的。

平坦平面、和彎曲平面的關鍵差異在於:當我們把向量、從彎曲平面上的某個點、平行輸運 (parallel transport) 到另一個點時,其結果、將取決於我們所選擇的路徑。

換言之,若使一個向量在任意曲面的不同條測地線上平行移動,而分別從不同的路徑、到達相同的終點時,在最終處,兩個來自不同路徑的、被平行輸運 (parallel transported) 而來的「兩個」向量、並不會重疊在一起;曲面的彎曲程度愈大,兩個向量的偏移、也就愈大。

在平坦的歐式平面 (flat Euclidean plane) 上,協變導數 (covariant derivative) 只不過是單純的向量場的微分,但在非歐平面 (non-Euclidean plane) 上,則要進一步考慮由於座標之改變所導致的、微小變異之程度。

曲線的切向量可以描述為一組基底向量之組成:

V⃗ = V¹ g⃗₁ + V² g⃗₂

這可以簡寫為:

V⃗ = Vᵐ g⃗ₘ

如前所述,協變導數 (covariant derivative) 乃是以與基底向量協變之方式、來衡量自身、及其因座標改變所導致的、微小變異之程度。

此即:

∂/∂Xᵏ V⃗

= ∂/∂Xᵏ (Vᵐ g⃗ₘ)

= (∂/∂Xᵏ Vᵐ) g⃗ₘ + Vᵐ (∂/∂Xᵏ g⃗ₘ)

= (∂/∂Xᵏ Vᵐ) g⃗ₘ + Vᵐ (Γˡₘₖ g⃗ₗ)

= (∂/∂Xᵏ Vᵐ) g⃗ₘ + Vⁿ (Γᵐₙₖ g⃗ₘ)

= (∂/∂Xᵏ Vᵐ) g⃗ₘ + (Vⁿ Γᵐₙₖ) g⃗ₘ

= (∂/∂Xᵏ Vᵐ + Vⁿ Γᵐₙₖ) g⃗ₘ

這可以表示為:

∇ₖ Vᵐ = ∂/∂Xᵏ Vᵐ + Vⁿ Γᵐₙₖ

= ∂ₖ Vᵐ + Γᵐₙₖ Vⁿ

在直覺上,直線就是「直直」延伸的一條線。在幾何上,直線則被定義為:兩點間、距離最短的路徑;但此時,還有一個同樣好的定義:直線乃是能夠平行輸運一個向量、從某個點至另一個點的路徑。

依此,測地線 (geodesic) 乃是歐氏平面的「直線」概念、在彎曲平面之推廣。

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