十、絕對 (內在) 導數之於測地線
讓我們回顧一下歐式幾何 (Euclidean geometry)。
歐氏幾何是古希臘數學家Euclid 在他的《幾何原本》(Elements) 中建立的數學體系，他首先假設了一組在直觀上似乎無可挑剔的公設 (公理)，並由它們推導出許多子命題 (定理)。
Euclid 給出的五個公設 (postulates，或公理 axioms) 如下：1. 從一點到另一點、可以畫出一條直線。
2. 直線的兩端、可以無限延長。
3. 給定一點、和一段固定的距離、可以畫出一個圓。
4. 所有的直角都相等。
5. 若一條直線和另外的兩條直線相交，那麼，在內角和小於兩個直角的一側，將兩條直線無限延長，它們將會在內角和小於兩個直角的那一側相交。
第五公設小心翼翼地避免用到「平行」兩字，而使用在直覺上似乎足以描述「不平行」的兩組敘述、來定義它的反面：第一是「內角和小於兩個直角」，第二是「相交」；Euclid 認為，這兩組敘述就像是 1 + 1 = 2 似的，不過是等號兩邊不同的表述方式罷了。
Playfair (1748~1819) 重新表述了第五公設，提出與之等價、但在敘述上較為直接的公理：(即直接用「平行」來描述)
5.one 給定一點、和一條直線，經過該點、不多也不少、僅可畫出一條與給定直線平行的直線。
這意味，下列的兩個陳述必須不成立：
5.more 經過該點、可以畫出多於一條與給定直線平行的直線。
5.none 經過該點、無法畫出與給定直線平行的直線。
自古以來，數學家就對第五公設、人為般不自然的冗長感到不安，他們設想：如果能夠找到方法、由前四個公設推導出第五公設，那麼，第五公設就可以變成一個定理、而不是公理，從而消除此種貌似扞格不協之狀態。
挑戰者們採取了迂迴的策略，他們從前四個公設、加上第五公設的否定出發，目的是想要證明隨之而來的矛盾，從而，由邏輯的非q 則非p，證明作為前提的對於第五公設的否定、是錯誤的。
一連串令人沮喪的挑戰失敗，其原因、一直到十九世紀、才終於被Gauss、Riemann、Bolyai、Lobachevsky 等人認識到：當早期的數學家嘗試提出第五公設的替代方案時，他們並沒有製造出矛盾，相反地，他們正在定義一種新的幾何學，而他們得出的結論、正闡釋了此種與歐氏幾何 (Euclidean geometry) 不同的、屬於新幾何學的內容。
若果如此，則Kant 關於我們所處的空間必須是歐氏的、一個綜合的先驗事實 (a synthetic a priori fact) 之保證，從現代的眼光看來，原來不過是哲學家基於當代之理解所創造出來的後知後覺的想像罷了？(John D. Norton, Einstein for Everyone)
讓我們以非歐幾何 (non-Euclidean geometry) 的觀點來重新檢視第五公設。
在球面上，若一條直線和另外的兩條直線相交，那麼，當它們的內角和等於兩個直角、且都垂直於原直線時，將兩條直線的兩端無限延長，它們不可能不相交；換句話說，下列的兩個陳述、一定會成立一個：
5.more 經過該點、可以畫出多於一條與給定直線平行的直線。
5.none 經過該點、無法畫出與給定直線平行的直線。
我們面臨選擇，要嘛放棄平行線是「內角和等於兩個直角的兩條直線」的定義，要嘛放棄平行線是「永不相交的兩條直線」的定義：
如果平行線被定義為「可以相交的、內角和等於兩個直角的」兩條直線，則 5.more 成立，亦即，在球面上，可以畫出多於一條與給定直線平行的直線；
如果平行線被定義為「內角和不等於兩個直角的、永不相交的」兩條直線，則 5.none 成立，亦即，在球面上，無法畫出與給定直線平行的直線，因為，此時，至少有一條線、不是大圓線，也就是說，不是球面意義下的「直線」。
幾何學所處的平面 (或空間) 本身，不僅是定義其他幾何理論的背景，也構成了幾何學的對象：當我們對一個向量場進行微分的同時，也必須要考慮到，這個作為向量場背景的平面 (或空間) 本身、因向量的微小移動所導致的變異程度為何。
在非歐幾何 (non-Euclidean geometry) 中，仿射連結 (affine connection) 指的是一種連結兩個相鄰點所處的切空間 (tangent spaces) 之無窮小的線性關係，它連接相鄰的兩個切空間，因而允許對向量場進行微分，就好像它們是流形上具有固定向量空間的值函數一樣。
空間具有仿射連結 (space with an affine connection) 的概念之引入，使得向量的平行輸運 (parallel transport) 變得可能。
儘管仿射線性連結 (affine linear connection) 的概念之提出可以追溯到十九世紀非歐幾何學和張量微積分的發展，但其形式結構之確立，卻是由Élie Cartan、和Herman Weyl 在1920 年代初期才將其逐漸完成。
前篇提到，任意向量 V⃗ 可以描述為一組基底向量之組成：
V⃗ = V¹ g⃗₁ + V² g⃗₂
這可以簡寫為：
V⃗ = Vᵐ g⃗ₘ
現在，我們想要令任意向量 V⃗ 沿著曲線 s 平行移動，其函數的形式如下：
V⃗ = V⃗(s)
向量 V⃗ 沿著曲線 s 的微小改變，稱為該向量的絕對導數 (absolute derivative)、或內在導數 (intrinsic derivative)，它的內容是：
D/ds V⃗
= d/ds (Vᵐ g⃗ₘ)
= (d/ds Vᵐ) g⃗ₘ + Vᵐ (d/ds g⃗ₘ)
= (d/ds Vᵐ) g⃗ₘ + Vᵐ (dXᵏ/ds ∂/∂Xᵏ g⃗ₘ)
= (d/ds Vᵐ) g⃗ₘ + Vᵐ (dXᵏ/ds Γˡₘₖ g⃗ₗ)
= (d/ds Vᵐ) g⃗ₘ + Vⁿ (dXᵏ/ds Γᵐₙₖ g⃗ₘ)
= (d/ds Vᵐ) g⃗ₘ + (Vⁿ dXᵏ/ds Γᵐₙₖ) g⃗ₘ
= (d/ds Vᵐ + Vⁿ dXᵏ/ds Γᵐₙₖ) g⃗ₘ
這個微小的改變之向量，其分量為：
D/ds Vᵐ = d/ds Vᵐ + Vⁿ dXᵏ/ds Γᵐₙₖ
= dXᵏ/ds ∂/∂Xᵏ Vᵐ + Vⁿ dXᵏ/ds Γᵐₙₖ
= dXᵏ/ds (∂/∂Xᵏ Vᵐ + Vⁿ Γᵐₙₖ)
= dXᵏ/ds (∇ₖ Vᵐ)
可以看出，式中的 dXᵏ/ds 乃是沿著曲線 s 方向的切向量 u⃗ 之分量。
所以，前式又可以表示為：
D/ds Vᵐ = uᵏ (∇ₖ Vᵐ)
因為向量 V⃗ 是任意的，所以，我們可以將它置換、而代以曲線 s 的切向量 u⃗；如此，可以利用前式，而將置換後的結果重新表示為：
D/ds uᵐ = uᵏ (∇ₖ uᵐ)
在非歐平面 (non-Euclidean plane) 上，「直線」意謂某條路徑，在它之上，切向量的平行移動都維持恆定、而不改變。
因而，測地線 (geodesic) 之內容、是為：
D/ds uᵐ = d/ds uᵐ + uⁿ dXᵏ/ds Γᵐₙₖ
= d/ds dXᵐ/ds + dXⁿ/ds dXᵏ/ds Γᵐₙₖ
= d²Xᵐ/ds² + dXⁿ/ds dXᵏ/ds Γᵐₙₖ
= 0
若使一個向量在任意曲面的不同條測地線上平行移動，而分別從不同的路徑、到達相同的終點時，在最終處，兩個來自不同路徑的、被平行輸運 (parallel transported) 而來的「兩個」向量、並不會重疊在一起；曲面的彎曲程度愈大，兩個向量的偏移、也就愈大。
具體言之，在任意曲面上，若以測地線 (geodesic) 構成一個三角形，並讓向量在此測地線上、分別沿著不同的路徑平行移動，在最終處，這兩個來自不同路徑的、被平行輸運 (parallel transported) 而來向量，它們的夾角、乃與曲面的曲率密切相關：
若三角形的內角和「等於」180°，則二向量的夾角「等於」0°，此時，曲面為「零」曲率：
若三角形的內角和「大於」180°，則二向量的夾角「大於」0°，此時，曲面為「正」曲率；
若三角形的內角和「小於」180°，則二向量的夾角「小於」0°，此時，曲面為「負」曲率。
