尋犀記 (11)
十一、黎曼曲率張量
十八世紀的哲學家Immanuel Kant (1724~1804)) 曾經説過，自己乃被David Hume (1711~1776) 的經驗哲學從「教義信條主義的酣睡」(dogmatic slumbers) 中喚醒，自此「覺醒」之後，Kant 便開始著手、嘗試結合傳統的理性主義、和英國的經驗主義之各個面向。
Kant 認為，人們縱使能夠理解、所有的支配經驗世界的普遍法則，也仍然全然無法理解、關於自然世界之所以存在的基礎事實。人類的知識界限、至多、僅及於經驗的範圍；也因此，當論及、那些獨立於人類經驗以外的先驗事實、長成什麼樣子、有著什麼樣的內容時，對於諸如此類的議論，我們必須格外地謹慎。
與Hume 的懷疑主義立場相反，Kant 宣稱，人類知識的核心部分、仍然表現出具有必然性和普遍性的特徵，我們仍有充分的理由相信、它們確實如此。
雖然，Kant 一方面批判純粹理性、強調其局限性，從而遏制各種形而上學體系的自負，但在另一方面，Kant 卻一直認為，理性的合法領域、實際上、要比經驗主義之批判觀點所能夠允許的、更為廣泛而堅實。
他主張：有些知識的類型、是綜合性的 (synthetic)，有些知識的類型、是先驗性的 (a priori)，有些知識的類型、既是綜合性的又是先驗性的 (both synthetic and a priori)。
知識的類型、是綜合性的 (synthetic)，是因為，這些知識對於主詞的進一步描述、給予了超過主詞的意涵以外之內容；由於謂詞 (predicate) 為主詞增添了新的屬性，所以，我們必須超越陳述的本身、尋找額外的證據，才能夠判定相關判斷之真偽。
Kant 將這種類型 (即綜合性) 的知識，與分析性的 (analytic) 知識，做了對比。
在邏輯中，分析判斷 (analytic judgment) 指的是、謂詞「被包含」(contained) 在主詞的意涵以內之判斷，由於謂詞的內容、已經被包含在主詞的概念中了，所以，我們無需超越陳述的本身，而單憑對於構成判斷的主詞概念之理解，就可以判定一個陳述的真偽。例如，「所有的鰥夫、均是喪妻的男人」，在這個判斷中，「喪妻」、和「男人」、是「鰥夫」的概念之組成部分，因而，只要理解「鰥夫」的意涵，就可以掌握判斷的真實與否。
知識的類型、是先驗性的 (a priori)，是因為，這些知識獨立於經驗的覺察、或感官的感知之外，而存在於個人的經驗歷程以前；先驗性的判斷，其概念的內容、既非源自於經驗、也不能藉由應用的經驗予以證明。
Kant 將這種類型 (即先驗性) 的知識，與「藉由經驗而得到的」(empirical) 知識、或後驗性的 (a posteriori) 知識，做了對比。
Kant 始終認為：數學知識、由於是普遍而客觀的，所以，它一定是先驗性的 (a priori)；
但同時，它也必須是綜合性的 (synthetic)，這是因為，數學的命題、不能夠單憑對於概念之理解、而分析性地產生，純粹的數學認知、必須超越概念、而到達與概念相應的直覺之內容。
數學、Kant 聲稱、與其他所有的先驗性認知之基本區別在於，它雖然自始至終、必須而且僅僅通過概念來構造，但它既非從概念出發，也非由概念結束。
比方，7 + 5 = 12，人們一開始可能會認為，這是一個純然分析性的命題，以為，它是由「七與五之和」的概念推導出來的，然而，仔細地觀察之後、就會發現，「七與五之和」只不過是兩個數字合而為一的概念，單憑此理解，不可能想到、將兩個數字結合在一起的數字會是什麼，「十二」的概念仍然沒有蘊涵在其中；人們儘可以用盡可能長的時間、去分析這樣一個「七與五之和」的概念，但卻永遠也不會得到「十二」。
在試圖驗證 7 + 5 = 12 的真偽時，Kant 教導我們，必須仰仗我們偉大的直覺，來為「七」這個概念、增添新的內容，例如，你可以用五根手指、五個銅板、或其他任何總計為數字五的物體組合，連續地、一個接一個地添加，最終、得出數字「十二」；現在，很明顯，概念「十二」已經被加入「七與五之和」的概念中了，而再多的分析、也無法產生這樣的概念。所以，Kant 宣稱，我們必須超越概念，並且憑藉與其中一個概念相應的直覺之助，才能夠到達目的地。
以是之故，算術、在Kant 的歸類、並不是一門純然分析性的 (pure analytic) 科學，而是一門兼具綜合性、與先驗性的 (both synthetic and a priori) 科學。
空間的概念、Kant 強調、亦絕對不可能從人們的經驗中獲得：人們儘可以想像在空間中沒有任何的物體，但卻永遠也無法想像不存在的空間。空間、是所有的外在直覺據以建立的基礎事實，亦是為所有的外在表象奠定基礎的先驗道成肉身 (incarnation)、在人世間的示現，而不是被外在表象決定的虛無縹緲的、欠缺實存性的幻影。
因此，幾何學乃是一門綜合、而先驗性地 (synthetically and yet a priori) 確立空間屬性的科學。(James Van Cleve, Problems from Kant)
與前述Kant 的論點相反，筆者以為：算術的客觀性、和必然性之確保，事實上，乃是源自於其嚴格的分析性的 (analytic) 運算推導，而非奠基於某種先驗性的 (a priori) 基礎事實；而為Kant 所創造的、綜合性的 (synthetic) 超越概念的直覺輔助之觀點，則更讓算術之運算、增添了偶然性的不確定因素。
比方，7 + 5 = 12，並不是用七根指頭，緊接著、再加上五根指頭，而「突然地」發現、原來是十二根指頭；若果如此，則數論的證明、又應該要如何「突然地」遇到它實證的直覺內容之來源呢？如果數論的證明、是經由分析性的 (analytic) 運算推導而獲得的，那麼，為什麼獨獨 7 + 5 = 12 的結論、不能經由分析性的 (analytic) 運算推導來獲得呢？
就 1 + 1 = 2 之判斷來說，「二」可以分為「一」、和「一」等兩個組成部分，這並不是無法想像的，因而，若將「二」對應於「鰥夫」的概念，將「一」、和「一」對應於「喪妻」、和「男人」的概念，那麼，只要理解「二」的意涵，就可以掌握 1 + 1 = 2 的判斷的真實性，這和判定「所有的鰥夫、均是喪妻的男人」、並無二致；因而，1 + 1 = 2 乃是一個、依照Kant 的定義、分析性的 (analytic) 判斷。
基於 1 + 1 = 2 之命題，以遞迴 (recursive) 的方式，分析性地產生 2 + 1 = 3、3 + 1 = 4⋯ 等子命題，從而，推導出12 這個數字；再援用加法的結合律 (associative property)，將「十二」的概念、分為「七」與「五」的兩個組成部分，便得到 7 + 5 = 12 的結論。在這個新的判斷裡面，並沒有對於主詞 (「十二」) 的進一步描述 (「七與五之和」)、給予了超過主詞的意涵以外之內容，所以，算術並不是一門綜合性的 (synthetic) 科學。
就空間的概念而言，我們必須在事先、後驗性地 (a posteriori) 知道，我們現在所處的空間、是屬於哪一種類型的空間，然後，我們才可以為空間中的諸多位置、及其改變、加以解析性的分析。所以，幾何學也不會是一門先驗性地 (a priori) 確立空間屬性的科學。
綜而言之，算術、應該是分析性的 (analytic) 知識，幾何、則應該是經驗性的 (empirical) 知識。從這兩方面來看，Kant 的結論都錯了。
而Kant 的「綜合性」、「先驗性」等概念之創造，一言以蔽之，恐怕亦跨不出哲學家如蠶吐絲般作繭自縛、且自誤誤人的妄想國度歟？
可以說，全部的算術體系、都是由 1 + 1 = 2 推導出來的，也不為過，其客觀性、和必然性之確保，可以純粹地仰賴嚴格的運算推導之分析性 (analyticity)、而無需求救於先驗性 (apriority) 的這座連結天堂與塵世的蜃橋。
雖然，由運算推導 (algorithm) 所衍生出的另外的問題是，當你想要將整個算術體系公理化時、無可避免地、一定會遇到無法滿足一致性 (consistency) 和完備性 (completeness) 的情況發生，但這樣的情況，乃是因為你執意要將體系公理化地統整、而撞上的礁石；就讓一個體系留存著不一致、和不完備的缺陷，又有何不可呢？完美的體系、意味著永恆與封閉，但先驗性 (apriority) 的幽靈卻不時地在人們的心中蠢動，督促著人們朝向妄誕的完美去追求。
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Farkas Bolyai (1775~1856) 出生於Bolya，一個位於Transylvania 大公國 (Grand Principality of Transylvania) 境內的小村莊，現今屬於匈牙利的領土。
1796 年，他前往德國學習數學，先是到Jena 大學，後來轉到Göttingen 大學，在那裡，他和同為該校學生的Johann Carl Friedrich Gauss (1777~1855) 成為好友。
Bolyai 對數學的興趣主要集中於《幾何原本》(Elements) 的第五公設，在學期間，這二位同學肯定對於第五公設的問題有過許多討論；事實也證明，畢業後，在他們的信件往返中，曾經多次提到關於第五公設的內容。
儘管Farkas 畢生沉迷於第五公設的存廢問題，但他在這方面的研究、卻並沒有太多的進展。
János Bolyai (1802~1860) 從小受到父親悉心的教導，因此對於非歐幾何產生濃厚的興趣、也就不足為奇了。
父親十分矛盾，既希望兒子能夠克紹箕裘、彌補他的遺憾、甚而能夠有所突破，另一方面，他又不希望兒子步上他的後塵，窮盡一生、仍然一事無成；以至於在1820 年，他終於忍不住寫信給兒子：「你絕對不能嘗試這些方法，我知道這條路是怎麼走的，我已經走過這條路了⋯ 在那些數不清的無底的夜晚裡，它們熄滅了我生命中應有的光明和歡樂。所以，我懇求你，兒子！不要再理會那些公設，不要以我為榜樣⋯」
但János 知道父親真正的心意，在經歷一段不懈的研究後，終於提出了具體的結論，並將它們發表在自己於1832 出版的《附錄》(Appendix) 一文中。
高興的 Farkas Bolyai 趕忙將兒子的研究成果寄給多年的老友、也是當時的數學泰斗Gauss。
Gauss 回覆道：
「如果，我打從一開頭就開門見山地說：我恐怕無法讚楊這部作品，您肯定會大吃一驚；但我也不得不這麼說，因為，讚楊它、等於是在讚揚我自己。
就作品的全部內容來說，您的兒子所走的道路、以及他現今得到的成果，幾乎與我三十至三十五年以來的思考、完全一致。也因此，我發覺自己感到驚訝至極。
關於我的研究成果，到目前為止，我甚少將它們出版，而希望它們在我的有生之年，尚不要為世人知悉；這是因為，大多數的人、並不具備理解我的結論、應該要有的洞察能力，並且，我也只遇到過極少數、之於我想要傳達給他們的內容、有著特別興趣的人。要理解這些結論，首先必須在思想上、對於自己需要什麼、能夠敏銳地覺察，而在這一點上，大多數的人卻都感到懷疑和困惑。
另一方面，我的計劃則是：最終，我會把一切都寫在紙上；這樣，至少它們不會跟著我一起滅亡。
因此，我對於自己在過去、竟然沒有付出前述的努力，感到十分驚訝，也很高興，我的老友的兒子以如此驚人的方式超越了我。」(Ujjwal Singh, Gauss-Bolyai-Lobachevsky: The Dawn of Non-Euclidean Geometry)
這封回信、到底是褒還是貶呢？
就原本已然計畫妥當，僅僅在這艘滿載著金銀財寶的船、即將要沈入海底之際、才會將智慧的果實分享給世人的，孰料，這個「理應屬於自己」的重大發現的桂冠，卻被競爭者給捷足先登了，不甘心啊！不甘心！從先佔權被奪去的事實，而導致在位者的忿恨不平來說，在位者的貶駁、才是對於競爭者的成就之最好的讚揚。
János Bolyai 探索的，是他稱為「想像幾何」(imaginary geometry) 的一種非歐幾何 (今日稱為雙曲幾何，即類似馬鞍形彎曲平面的幾何)，其中，三角形的內角和小於180°，平行線彼此發散，兩點之間的最短距離實際上是一條曲線、或稱測地線，而不是「直線」。
在讀完《附錄》(Appendix) 後，Gauss 清楚地認識到年輕的Bolyai 的天才想法，但卻拒絕鼓勵這位年輕人，據說，Gauss 甚至企圖將他的想法佔為己有；而約莫同時，俄羅斯數學家Lobachevsky 卻又已經在《附錄》(Appendix) 出版的前兩年、獨立發表了類似的發現。這些打擊、只有讓Bolyai 感到更加沮喪；後來，他成為一個隱士，並逐漸變得瘋狂，終於1860 年默默無聞地去世。
儘管János Bolyai 一生只出版了24 頁的《附錄》，但他去世時，卻留下了20000 多頁未曾發表的數學手稿。
而另一位雙曲幾何的先創者，俄羅斯的數學家Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792~1856) 也死於貧窮和默默無聞，晚年幾乎失明、且無法行走。
Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826~1866) 出生於Hanover 王國 (Kingdom of Hanover) 的一個小村莊Breselenz。他的父親是一位貧窮的路德會牧師。
Riemann 在Johanneum Lüneburg 唸高中時，老師就已經注意到他的數學才能，校長甚至主動從圖書館借出數學書籍供他閱讀，其中包括Legendre 長達900 頁的數論教科書，而Riemann 沒多久就讀完了。
高中畢業後，Riemann 進入了Göttingen 大學研習基督教神學，他的數學能力再度引起了教授的注意，Johann Carl Friedrich Gauss 請求他的父親、允許讓年輕的Riemann 改讀數學。
改讀數學後的Riemann 很快就發現、Göttingen 大學的講座課程、其實沒有為他帶來什麼新的東西，而且教授也不會和學生分享他們的想法。1847 年春天，Riemann 從Göttingen 大學轉學到當時較為自由開明的Berlin 大學，期間，他提出了複變函數的一般理論，該理論成為他日後創作的重要基礎。
1849 年，Riemann 重新回到Göttingen 大學，並於1851 年獲得博士學位。論文由Gauss 指導，研究了複變理論，並將拓撲的方法引入複變函數理論中。
在歐洲的許多國家，想要成為教授，候選人必須在完成博士論文之後，再提交一份資格論文 (habilitation thesis)，而在該資格論文被接受前，候選人還被要求、要在期刊上發表大量的文章，資格論文被接受後，候選人必須舉行訓練講座。
Riemann 必須為他的訓練講座提交三個預選的主題，Gauss 則從當中挑選一個；具體而言，Riemann 提交了兩個關於電學的講座主題、和一個關於幾何基礎的講座主題，Gauss 選擇了幾何。
Riemann 於1854 年舉辦了他的講座，這場講座、是真正具有開創性的數學發表，創立了黎曼幾何的領域，並為日後Albert Einstein 的廣義相對論奠定了數學基礎。
Riemann 也是英年早逝，於1866 年死於肺結核。
雖然說思想太多是一種罪惡，然而，在後來嚴苛的學術環境下，人們已經沒有餘裕如古希臘的哲學家、從容而恬適地探索自己感興趣的未知領域：智力勞動、成為工作上換取生活資源和博得社會名聲的工具。
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前篇提到，在一個封閉的迴圈 (loop) 中，來自不同路徑的、被平行輸運 (parallel transported) 而來的「兩個」向量，它們的夾角、乃與曲面的曲率密切相關。
這可以表示為：
δV ~ curvature
具體而言：
δVʰ = Rʰₘₙₖ Vᵐ δXⁿ δXᵏ
現在，讓向量 Vₘ 沿著微小平行四邊形的邊緣移動，先是沿著 Xⁿ、再沿著 Xᵏ 的方向，將向量平行輸運 (parallel transported) 到微小平行四邊形的對角點。
此即：
(Vₘ„ ₙ)„ ₖ
= ∂/∂Xᵏ (Vₘ„ ₙ) - Γʰₙₖ (Vₘ„ ₕ) - Γʰₘₖ (Vₕ„ ₙ)
= [∂/∂Xᵏ (∂Vₘ/∂Xⁿ - Γʰₘₙ Vₕ)] - Γʰₙₖ (∂Vₘ/∂Xʰ - Γᵉₘₕ Vₑ) - Γʰₘₖ (∂Vₕ/∂Xⁿ - Γᵉₕₙ Vₑ)
= [∂/∂Xᵏ ∂Vₘ/∂Xⁿ - ∂/∂Xᵏ (Γʰₘₙ Vₕ)] - Γʰₙₖ (∂Vₘ/∂Xʰ - Γᵉₘₕ Vₑ) - Γʰₘₖ (∂Vₕ/∂Xⁿ - Γᵉₕₙ Vₑ)
= [∂²Vₘ/∂Xᵏ∂Xⁿ - (∂/∂Xᵏ Γʰₘₙ) Vₕ - Γʰₘₙ (∂Vₕ/∂Xᵏ)] - Γʰₙₖ (∂Vₘ/∂Xʰ - Γᵉₘₕ Vₑ) - Γʰₘₖ (∂Vₕ/∂Xⁿ - Γᵉₕₙ Vₑ)
= ∂²Vₘ/∂Xᵏ∂Xⁿ - (∂/∂Xᵏ Γʰₘₙ) Vₕ - Γʰₘₙ ∂Vₕ/∂Xᵏ + [- Γʰₙₖ (∂Vₘ/∂Xʰ - Γᵉₘₕ Vₑ) - Γʰₘₖ (∂Vₕ/∂Xⁿ - Γᵉₕₙ Vₑ)]
= ∂²Vₘ/∂Xᵏ∂Xⁿ - (∂/∂Xᵏ Γʰₘₙ) Vₕ - Γʰₘₙ ∂Vₕ/∂Xᵏ + [- Γʰₙₖ ∂Vₘ/∂Xʰ + Γʰₙₖ Γᵉₘₕ Vₑ - Γʰₘₖ ∂Vₕ/∂Xⁿ + Γʰₘₖ Γᵉₕₙ Vₑ]
= ∂²Vₘ/∂Xᵏ∂Xⁿ - (∂/∂Xᵏ Γʰₘₙ) Vₕ - Γʰₘₙ ∂Vₕ/∂Xᵏ - Γʰₙₖ ∂Vₘ/∂Xʰ + Γʰₙₖ Γᵉₘₕ Vₑ - Γʰₘₖ ∂Vₕ/∂Xⁿ + Γʰₘₖ Γᵉₕₙ Vₑ
再讓向量 Vₘ 沿著微小平行四邊形的邊緣移動，這次，則先是沿著 Xᵏ、再沿著 Xⁿ 的方向，將向量平行輸運 (parallel transported) 到微小平行四邊形的對角點。
此即：
- (Vₘ„ ₖ)„ ₙ
= - ∂²Vₘ/∂Xⁿ∂Xᵏ + (∂/∂Xⁿ Γʰₘₖ) Vₕ + Γʰₘₖ ∂Vₕ/∂Xⁿ + Γʰₖₙ ∂Vₘ/∂Xʰ - Γʰₖₙ Γᵉₘₕ Vₑ + Γʰₘₙ ∂Vₕ/∂Xᵏ - Γʰₘₙ Γᵉₕₖ Vₑ
將上下二式相加，再消掉其中相同的項。
這代表，被平行輸運 (parallel transported) 而來的「兩個」向量，它們的夾角為：
(Vₘ„ ₙ)„ ₖ - (Vₘ„ ₖ)„ ₙ
= - (∂/∂Xᵏ Γʰₘₙ) Vₕ + (∂/∂Xⁿ Γʰₘₖ) Vₕ + Γʰₘₖ Γᵉₕₙ Vₑ - Γʰₘₙ Γᵉₕₖ Vₑ
= - (∂/∂Xᵏ Γʰₘₙ) Vₕ + (∂/∂Xⁿ Γʰₘₖ) Vₕ + Γᵉₘₖ Γʰₑₙ Vₕ - Γᵉₘₙ Γʰₑₖ Vₕ
= (- ∂/∂Xᵏ Γʰₘₙ + ∂/∂Xⁿ Γʰₘₖ + Γᵉₘₖ Γʰₑₙ - Γᵉₘₙ Γʰₑₖ) Vₕ
= Rʰₘₙₖ Vₕ
Rʰₘₙₖ 稱為黎曼曲率張量 (Riemann curvature tensor)。
若二向量的夾角「等於」0°，此時，曲面為「零」曲率；
若二向量的夾角「大於」0°，此時，曲面為「正」曲率；
若二向量的夾角「小於」0°，此時，曲面為「負」曲率。
黎曼曲率張量、由許多 Christoffel 符號 (Christoffel symbols) 構成、可表示為：
Rʰₘₙₖ
= - ∂/∂Xᵏ Γʰₘₙ + ∂/∂Xⁿ Γʰₘₖ + Γᵉₘₖ Γʰₑₙ - Γᵉₘₙ Γʰₑₖ
= - Γʰₘₙ, ₖ + Γʰₘₖ, ₙ + Γᵉₘₖ Γʰₑₙ - Γᵉₘₙ Γʰₑₖ
其另一種表示之形式、為：
Rₗₘₙₖ
= gₗₕ Rʰₘₙₖ
= gₗₕ (- Γʰₘₙ, ₖ + Γʰₘₖ, ₙ + Γᵉₘₖ Γʰₑₙ - Γᵉₘₙ Γʰₑₖ)
