如果你曾經在垃圾郵件過濾器中找回一封重要信件，或者驚嘆於 ChatGPT 能夠「預測」下一個字，那麼你已經見證了**貝氏定理（Bayes' Theorem）**的力量。
這個看似簡單的數學公式，曾經被主流科學界視為異端長達百年，如今卻成為人工智慧、大數據分析甚至尋找失蹤核潛艇的核心引擎。
這篇文章將帶你走過貝氏定理的傳奇歷史，解析它如何運作，並整理過去 10 年將此定理推向巔峰的關鍵論文。
第一章：被遺忘的手稿與牧師的業餘愛好
故事要從 18 世紀的英國說起。托馬斯·貝葉斯（Thomas Bayes）並不是一位職業數學家，而是一位長老會牧師。
在那個年代，人們對「機率」的理解還停留在擲骰子的次數統計（頻率學派）。但貝葉斯在思考一個更深奧的問題：「如果我們不知道上帝是否存在，能否透過觀察世界的現象，來反推上帝存在的機率？」
這就是**逆向機率（Inverse Probability）**的雛形。
貝葉斯生前從未發表過這個理論。直到他過世後，他的朋友理查·普萊斯（Richard Price）在整理遺物時發現了這些手稿，意識到其中的價值，於 1763 年將其發表。但真正將這個定理公式化、並推廣到科學界的，是法國數學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）。
拉普拉斯有一句名言：「人生中最重要的問題，絕大部分只是機率問題。」他將貝氏定理應用於天文學，計算土星的質量，甚至用來估算拿破崙是否會贏得戰爭。
貝氏定理的核心直覺
用最簡單的話來說，貝氏定理就是：根據新的證據，不斷更新你原本的信念。
$$P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}$$
- $P(A)$ - 先驗機率 (Prior)： 在看到證據之前，你原本認為 A 發生的機率（你的偏見或舊知識）。
- $P(B|A)$ - 似然性 (Likelihood)： 如果 A 是真的，那麼證據 B 出現的可能性有多大？
- $P(A|B)$ - 後驗機率 (Posterior)： 看到證據 B 之後，你現在認為 A 發生的機率（更新後的信念）。
第二章：從海底撈針到 AI 革命——實際應用案例
貝氏定理在 20 世紀曾遭到費雪（Ronald Fisher）等統計巨擘的打壓，因為它依賴「主觀的先驗機率」。但在二戰解碼、冷戰搜尋以及現代科技中，它證明了自己的無可取代。
1. 尋找失蹤的氫彈與潛艇（冷戰時期）
1966 年，美軍一架 B-52 轟炸機在西班牙帕洛馬雷斯上空相撞，一枚氫彈掉入地中海。美軍運用貝氏搜尋理論（Bayesian Search Theory），將海域劃分為網格。
他們為每個網格設定一個「先驗機率」（氫彈在這裡的可能性），然後進行搜尋。如果沒找到，並不是簡單地劃掉那一格，而是利用貝氏定理更新所有其他網格的機率（因為在那裡沒找到，代表在其他地方的機率變高了）。這種方法後來也用於尋找失蹤的核潛艇「蠍子號」（USS Scorpion）以及法航 447 班機的黑盒子。
2. 醫療診斷的陷阱（經典案例）
假設有一種疾病的檢測準確率是 99%，而你被檢測出「陽性」，你真的得病了嗎？
貝氏定理告訴我們：別慌，要看基礎率（Base Rate）。
如果該病在人群中的發病率只有 0.1%（先驗機率極低），即使檢測準確率很高，你實際得病的機率可能只有 9% 左右。這是醫生在判讀罕見疾病報告時必須具備的貝氏思維。
3. 生成式 AI 與擴散模型（現代應用）
現在最紅的 AI 繪圖（如 Midjourney、Stable Diffusion），其背後的**擴散模型（Diffusion Models）**在本質上是一個貝氏過程。模型學習如何從純雜訊（Prior）中，根據文字提示（Evidence），一步步逆向去噪，最終生成清晰的圖像（Posterior）。
第三章：過去 10 年貝氏定理的重要論文（2015-2025）
在深度學習（Deep Learning）統治的時代，貝氏方法並沒有消失，反而與神經網路結合，解決了 AI 最缺乏的特質：「知道自己不知道」（Uncertainty Quantification）。
以下是過去 10 年最具影響力的幾篇論文，它們定義了現代貝氏深度學習（Bayesian Deep Learning）與生成式 AI 的基礎：
1. Dropout as a Bayesian Approximation (2016)
- 作者： Yarin Gal, Zoubin Ghahramani
- 重要性： 這篇論文是現代應用派的經典。它證明了在神經網路中常用的 "Dropout" 技術（隨機關閉神經元），在數學上等同於貝氏推論的近似。這意味著我們不需要改變模型架構，就能讓 AI 告訴我們它的「不確定性」。
- 應用： 自動駕駛車判斷前方物體時，如果不確定，它應該減速而不是盲目猜測。
- 連結： ArXiv Link
2. Denoising Diffusion Probabilistic Models (2020)
- 作者： Jonathan Ho, Ajay Jain, Pieter Abbeel
- 重要性： 這篇論文是引爆 2022 年 AI 繪圖熱潮的基石。雖然它基於 2015 年的物理擴散概念，但這篇論文成功將其轉化為實用的生成模型。它利用馬可夫鏈（Markov Chain）和貝氏逆機率公式，從雜訊中「幻想」出逼真的圖像。
- 應用： DALL-E 2, Stable Diffusion。
- 連結： ArXiv Link
3. Weight Uncertainty in Neural Networks (2015)
- 作者： Charles Blundell et al. (Google DeepMind)
- 重要性： 提出了 "Bayes by Backprop"。傳統神經網路的權重是固定的數字，而這篇論文提出權重應該是一個「機率分佈」（高斯分佈）。這讓神經網路具有強大的泛化能力，並能有效避免過度擬合（Overfitting）。
- 連結： ArXiv Link
4. What Uncertainties Do We Need in Bayesian Deep Learning? (2017)
- 作者： Alex Kendall, Yarin Gal
- 重要性： 區分了兩種不確定性：偶然不確定性（Aleatoric，數據本身的雜訊）與認知不確定性（Epistemic，模型沒看過這類數據）。這對於電腦視覺和機器人控制至關重要。
- 連結： ArXiv Link
結語：在不確定的世界中尋找真理
貝氏定理不僅僅是一個公式，它是一種世界觀。
在資訊爆炸的時代，我們每天接收海量的新聞和數據。貝氏思維教導我們：永遠不要百分之百確信一件事，但也永遠不要忽視新的證據。 保持你的「先驗」足夠開放，隨時準備根據新的「數據」來更新你的認知。
這或許就是在這個充滿雜訊的時代，最理性的生存之道。
