詳細介紹 Peter Shor 的量子分解演算法中的模指數運算量子電路設計。
Peter Shor 的量子分解演算法：模指數運算量子電路設計
概述
Peter Shor 在 1994 年提出的量子分解演算法是量子計算領域的里程碑，它能在多項式時間內分解大整數，對 RSA 加密系統構成潛在威脅。該演算法的核心是**模指數運算（modular exponentiation）**的量子電路實現，這是整個演算法中計算最密集的部分。
演算法架構
1. 量子相位估計（Quantum Phase Estimation, QPE）
Shor 演算法的量子部分基於相位估計電路：
電路結構包含：
- 上方 m 個量子位元：初始化為 |0⟩，用於相位估計
- 下方 n 個量子位元：編碼模指數函數
- 受控-U 運算：執行相位回踢（phase kickback）
- 逆量子傅立葉變換（Inverse QFT）：將週期性結構轉換為可測量的頻率峰值
2. 階數尋找問題（Order Finding Problem）
對於要分解的整數 N 和互質的 a ∈ ℤ*ₙ，我們需要找到最小正整數 r 使得：
aʳ ≡ 1 (mod N)
定義模乘法運算子 Mₐ：
- Mₐ|x⟩ = |ax (mod N)⟩
該運算子的特徵值為 ωʲᵣ = e^(2πij/r)，對應的特徵向量為：
|ψⱼ⟩ = (1/√r) Σₖ ωʳ⁻ʲᵏ |aᵏ⟩
模指數運算電路設計
核心構建模塊
- QFT 加法器（Draper's Adders）
- 基於量子傅立葉變換的加法電路
- 作為構建更複雜算術塊的基礎
- 模乘法器
- 使用常數乘法/累加器
- 使用常數除法器
- 這些是模指數電路的基本單元
- 受控模指數運算
- 不是迭代 k 次 Mₐ 電路
- 而是計算 b = aᵏ mod N，然後使用 Mᵦ 電路
- 對於 2 的冪次方，使用迭代平方法
具體實例：分解 N=15（a=2）
M₂ 運算子的作用
這是一個排列矩陣，可用 SWAP 閘實現
模指數算子序列
對於 8 個量子位元的精度，需要構建：
- Mᵦ，其中 b = 2(2k) mod 15
- k = 0, 1, 2, ..., 7
計算結果：
- 2¹ mod 15 = 2
- 2² mod 15 = 4
- 2⁴ mod 15 = 1
- 2⁸ mod 15 = 1（週期為 4）
電路複雜度分析
根據 Pavlidis 和 Gizopoulos 的研究（arXiv:1207.0511）：
資源需求：
- 電路深度：約 2000n² 個閘層
- 量子位元數：9n + 2
- 總量子成本：1600n³
- n 是待分解數字的位元數
優化方法：
- 使用近似 QFT 實現可將深度減少 3 倍以上
- 專門設計的排列電路比通用酉門合成效率高得多
演算法流程
- 初始化
- 上層暫存器：|0⟩⊗ᵐ（Hadamard 門後變成均勻疊加態）
- 下層暫存器：|1⟩（模指數運算的輸入）
- 受控模指數運算
- 應用 C-U(2k) 運算，k = 0, 1, ..., m-1
- 相位資訊回踢到控制量子位元
- 逆 QFT
- 將週期性轉換為可測量的相位
- 測量與後處理
- 測量得到 y，估計相位 θ ≈ y/2^m
- 使用連分數演算法提取階數 r
- 計算 gcd(a^(r/2) ± 1, N) 得到因子
實際硬件實現考量
誤差抑制技術：
- 動態解耦（Dynamical Decoupling, DD）：應用精確定時的控制脈衝
- 閘扭曲（Gate Twirling）：將相干誤差隨機化為泡利誤差
成功案例：
- IBM 量子計算機上成功分解 15、21、35
- 使用半經典 QFT 減少物理量子位元需求
- 最小成功案例使用 5 個量子位元
擴展性挑戰
分解 2048 位元的 RSA 密鑰需要：
- 數百萬個量子位元（包含錯誤修正開銷）
- 深度約 10 億個閘層
- 遠超當前量子硬件的能力
未來方向：
- 優化電路構造方法
- 強健的量子錯誤修正
- 專用量子算術單元設計
關鍵技術文獻
- Pavlidis & Gizopoulos (2012)：快速模指數架構
- Singleton (2023)：模指數運算子詳細理論
- IBM Quantum Tutorial：實際實現指南
這個量子電路設計展示了量子計算在密碼學領域的革命性潛力，同時也揭示了實現實用量子分解演算法所面臨的巨大技術挑戰。
