🧭 NOTE｜工程數學 W1：Vector（2026-02-25）

主題：向量基本運算、內積/外積、投影、del 運算子（grad/div/curl）

目標：把「幾何直覺」與「代數計算」對上，為後續電磁學、流體、場論打底。

🎯 1. 本週我真正要帶走的 4 件事

1. 🧱 能用 î、ĵ、k̂ 把向量「寫乾淨」，並算出長度與單位向量。
2. 🧲 內積 A⃗·B⃗：用來算夾角、判斷垂直、計算投影（能量/功的語言）。
3. 🌀 外積 A⃗×B⃗：用來算面積、方向（右手定則），對應力矩/旋轉。
4. 📐 del 運算子 ∇：知道它怎麼長、怎麼產生 grad/div/curl，先建立「場」的語言。

🧱 2. 向量基本：表示法、長度、單位向量

• 向量表示：
  A⃗ = Ax î + Ay ĵ + Az k̂ week 1
• 長度（大小）：
  |A⃗| = √(Ax² + Ay² + Az²) week 1
• 單位向量：
  Â = A⃗ / |A⃗|
• 加減法（分量各自加減）：
  A⃗ ± B⃗ = (Ax ± Bx)î + (Ay ± By)ĵ + (Az ± Bz)k̂

🧲 3. 內積（dot product）：幾何 × 代數

✅ 幾何定義

A⃗·B⃗ = |A⃗||B⃗| cosθ

✅ 代數定義

🔥 立刻能用的結論

• A⃗ ⟂ B⃗ ⇔ A⃗·B⃗ = 0
• cosθ = (A⃗·B⃗) / (|A⃗||B⃗|)

🧩 投影（超常考）

• A⃗ 在 B⃗ 上的投影向量：
  proj_B(A) = (A⃗·B⃗ / |B⃗|²) B⃗

直覺：A⃗ 被「壓」到 B⃗ 方向上，留下那一段同方向的成分。

🌀 4. 外積（cross product）：面積與方向

✅ 幾何定義

|A⃗×B⃗| = |A⃗||B⃗| sinθ

方向：右手定則（A 轉向 B，拇指方向為 A×B）

✅ 代數計算（行列式記法）

A⃗×B⃗ =

| î ĵ k̂ |

| Ax Ay Az |

| Bx By Bz |

展開後：

A⃗×B⃗ = (AyBz − AzBy)î + (AzBx − AxBz)ĵ + (AxBy − AyBx)k̂

📐 5. del 運算子 ∇：把「微分」變成向量工具

🧭 ∇ 的長相

∇ = î ∂/∂x + ĵ ∂/∂y + k̂ ∂/∂z week 1

給定：

• 純量場 f(x,y,z)
• 向量場 V⃗(x,y,z) = Vx î + Vy ĵ + Vz k̂ week 1

⛰️ 梯度（gradient）

∇f = (∂f/∂x)î + (∂f/∂y)ĵ + (∂f/∂z)k̂

意義：指向「上升最快」的方向。

💧 散度（divergence）

∇·V⃗ = ∂Vx/∂x + ∂Vy/∂y + ∂Vz/∂z 工程數學筆記

意義：源/匯強度（有沒有「往外噴」或「往內吸」）。

🌀 旋度（curl）

∇×V⃗ =

| î ĵ k̂ |

| ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z |

| Vx Vy Vz | 工程數學筆記

意義：局部旋轉趨勢（像小漩渦）。

🧨 6. 本週最常犯錯清單（我提醒自己）

• ❌ 把 |A⃗|² 寫成 |A⃗|：記得 |A⃗|² = Ax²+Ay²+Az²
• ❌ 投影忘了除以 |B⃗|²：proj_B(A) 的分母一定是 |B⃗|²
• ❌ 外積方向搞反：A⃗×B⃗ = −(B⃗×A⃗)（交換會變號） week 1
• ❌ grad/div/curl 混淆：
• • grad：純量 → 向量
  • div：向量 → 純量
  • curl：向量 → 向量

🧠 7. 1 句話總結（W1 的意義）

向量是工程的共同語言：內積管「投影/能量」，外積管「面積/旋轉」，而 ∇ 把微分升級成可描述場的工具，後面電磁學與流體每一章都會用到。

✅ 8. 5 分鐘自測（本週要能秒答）

1. 何時 A⃗ 與 B⃗ 垂直？（用 dot 判斷）
2. proj_B(A) 的公式與物理意義？
3. A⃗×B⃗ 的方向怎麼判斷？交換會怎樣？
4. ∇f、∇·V⃗、∇×V⃗ 各代表什麼？
5. 用一句話區分 grad/div/curl 的「輸入輸出型態」。