綁架愛麗絲 之 地下邏輯 013

作者: 黃盛

1 Down the rabbit hole: 論理型

掉下兔子洞

十一

真值表方法同樣可以用來為條件句聯結詞下定義:

條件句聯結詞比否定聯結詞複雜得多﹐不單由於「﹁」是個一元聯結詞﹐而「→」是個二元聯結詞。對初學者而言﹐條件句聯結詞的定義頗難掌握﹐讓我們在這裡徹底解決這個煩惱。

• 問: 兩個論元可以有多少個 (種) 順列¹⁸?
• 答: 4 個。

在一個二值系統中，每一個論元可有兩個值的順列，因此 2¹= 2，兩個論元有 2² = 4 個值的順列，三個論元有 2³ = 8 個值的順列，如此類推。換句話說﹐兩個論元容許最多四個真值組合。在真值表 [2] 中﹐我們見到「→」在三個情況下 (真值組合) 為真。「p → q」為真:

1. 如果前件後件皆真 (橫軸下的第一行: 1-1);
2. 如果前件後件皆假 (橫軸下的第四行: 0-0);
3. 如果前件假﹐後件真 (橫軸下的第三行: 0-1)。

• 問: 條件句在什麼情況之下為假?
• 答: 情況只有一個﹐就是碰到橫軸下第二行的順列﹐即前件真﹐後件假 (1-0)。

條件句提出前件為後件的條件。

如果符合了前件的條件﹐後件卻沒有成為事實﹐則條件句顯然為假。這是真值表中的第一個順列情況，不難理解。

條件句為假﹐僅當前件為真並且後件為假。這是真值表中的第二個順列情況。作為一個推論規則﹐條件消去規則 (或肯定模式) 要捕捉的就是這個邏輯性質。倘若有「p → q」(即假設「p → q」為真)﹐並且同時有「p」(即假設「p」為真)﹐則「q」必然為真。肯定模式只不過重覆了條件句的定義中最首要的這一點。

倘若有「p → q」﹐並且有「﹁p」﹐我們不被允許推論出「﹁q」。條件句告訴我們﹐前件是後件的條件﹐只此而矣﹐它沒有說前件的否定是後件的否定的條件。這就是否定前件 (並且推論後件的否定) 的謬誤之所以為謬誤之處。

解決了唯一能令條件句變假的論元真值順列﹐我們看一下令條件句變真的餘下三個論元真值順列。前面已經說過﹐條件句提出前件為後件的條件。如果符合了前件的條件﹐後件又成為事實﹐則條件句顯然為真。第一點簡單易懂。

餘下還有兩個情況﹐都是前件皆假: 只要前件假﹐條件句必然真﹐後件的真假是沒有關係的。通常困惑學生的是第二個情況: 為什麼前件假﹐後件真﹐條件句仍然判定為真?

要能清楚解釋條件句的真值表定義﹐莫過於用承諾來做講解的案例。

假設有小女孩對小男友作出以下的承諾: 如果你給我摘一朵蒲公英﹐長大後我便嫁給你。讓我們稱這個兩小無差的浪漫承諾為「DP」(蒲公英承諾)。

讓我們把這個承諾再寫一遍。

DP: 如果你摘一朵蒲公英給我﹐長大後我便嫁給你。

緊記，DP 是個承諾﹐而我們要判定在什麼情況下小女孩兌現了她對小男友的承諾。四個情況 (順列)﹐逐一檢視:

• 1 - 1 小男友摘了一朵蒲公英給小女孩﹐小女孩長大後嫁給了他。小女孩兌現了她的承諾﹐所以 DP 為真。(沒事兒!)
• 1 - 0 小男友摘了一朵蒲公英給小女孩﹐小女孩長大後卻沒有嫁給他。小女孩顯然違背了她的承諾﹐所以 DP 為假。(不存爭議!)
• 0 - 0 小男友沒有摘蒲公英給小女孩﹐小女孩長大後沒有嫁給他。小女孩當然沒有違背承諾﹐因為小男友根本沒有摘蒲公英給小女孩; 所以 DP 為真。(理所當然!)
• 0 - 1 小男友沒有摘蒲公英給小女孩﹐小女孩長大後嫁給了他。(欸?)

問: 就 0 - 1 個案而言，小女孩違背了自己的承諾了嗎?

答: 小男友沒有摘蒲公英給她﹐為什麼要嫁給他? 留意: 小女孩的承諾是如果小男友摘一朵蒲公英給小女孩﹐小女孩長大後便嫁給他。只有在小男友摘了一朵蒲公英給小女孩﹐但小女孩長大後卻不嫁給他﹐才算違反了承諾。現在的情況是﹐雖然小男友沒有摘蒲公英給小女孩﹐小女孩長大後還是嫁給了他。小女孩違背諾言了嗎? 沒有。既然承諾的條件沒有滿足﹐嫁不嫁給小男友是無關宏旨的事﹐因為無論長大後的小女孩嫁不嫁給長大後的小男友﹐她一定不會違反自己的承諾。承諾的條件一開始便沒有被滿足﹐因此不可能有違反承諾的餘地。

況且﹐她就是那麼愛他﹐偏偏就要嫁給他﹐不可以嗎?

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¹⁸ Permutation。漢語譯做「置換」或「排列」﹐日語採用漢字「順列」。這裡選用日語的漢譯﹐原因在於「permutation」在數學和電腦科學裡面的意義離不開「有序」(ordered) 這個基本概念。「置換」或「排列」明顯欠缺這個基本概念。

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