Common Knowledge

這裡指的Common Knowledge，是賽局理論(Game Theory)中所提到概念。會選擇介紹Common Knowledge，因為這個東西不太好理解，google也找不到中文版的說明，所以就花點時間解釋一下。

為何這東西不好解釋，例如以下這串文字到底在說什麼？

“An item of information in a game is common knowledge if all of the players know it (it is mutual knowledge) and all of the players know that all other players know it and all other players know that all other players know that all other players know it, and so on.”from:(http://www.gametheory.net/dictionary/CommonKnowledge.html)

如果看完以上這串文字後覺得看不懂，放心，絕對不是英文的問題，因為寫成中文反而更難懂。因為中文不像英文有關係代名詞的用法，所以用中文更難表達Common Knowledge繞來繞去的關係。為了理解這個無聊的關係，先舉個例子，但這個例子不是Common Knowledge，不過可以幫助理解。

棒球比賽中投手跟打者對決，已經二好三壞了，投手即將投出下一球…

(1)投手：投手不想保送，所以決定投好球(假設沒有失投成壞球的問題)

(2)打者：打者若知道投手決定投好球，打者便選擇要揮棒

(3)投手：投手若知道打者知道投手要投好球所以選擇要揮棒，投手則會改投壞球(讓他揮空棒或不好打)

(4)打者：打者若知道投手因為知道打者知道投手要投好球而選擇揮棒，所以改投壞球，打者便又會改變策略不揮棒 (保送上一壘)

(5)…..然後，二人就這樣，你了解我的明白，我也明白你的了解，你更了解我的明白是明白你的了解，我也明白你的了解是了解我的明白…就一直這樣無限鬼打牆下去……

看完這個例子後，不曉得對於這種繞來繞去的關係是否更能理解？若沒有，就算了，當沒提過就好…

接下來就開始講一個common knowledge有趣的例子，在某些比較進階賽局的書可能會看到，中文版賽局的書好像沒看過：

一個村莊裡面住著100對夫妻，這100對夫妻都擁有非常優異的邏輯推理能力，這個村莊有個奇特現象，每天晚上，100位丈夫會聚在一起談論他們的太太，如果他們認為自己的太太是忠於自己的話，會後就會站起來稱讚自己的太太，反之如果在聚會前，丈夫有證據證明自己的太太不忠於自己的話，他則會站起來大聲的咒罵自己的太太。

另外，這100位太太，如果有人不忠的話，全村所有人都會知道，但只有一個人不知道，就是她自己的丈夫…

而這個村莊的實際狀況是， 100位太太其實都不忠於自己的丈夫，所以每位丈夫也都知道另外99位別人的太太都不忠，但也都認為自己的太太是忠於自己的，所以每個晚上100位丈夫的聚會，每位丈夫會後還是都會站起來稱讚自己的太太，然後心裡暗自竊笑其他99位可憐蟲戴綠帽了都不知道。

這個狀況持續了數年…直到某一天，有一位年輕道士下山收妖，旅行到這個村莊，他一走進村莊就聞到妖氣沖天。他在村莊待了一段時間後，有一天他終於忍不住了，在一次聚會前，他跟每位丈夫說：你們這個村莊「有一位太太不忠」，說完後就飄走了，留下面面相覷的100位丈夫。

結果，第1個晚上、第2個晚上、第3個晚上…到第99個晚上，都相安無事，前99個晚上每位丈夫還是都在聚會後站起來稱讚自己的太太。

但是到第100個晚上…每位丈夫都站起來大聲咒罵自己的太太。

為什麼會有這樣的結果？

一次想100對夫妻的情況是複雜的，所以先想如果只有2對夫妻的情況，然後看當中是否有推理的規律可推展到100對夫妻：

如果只有：

二對夫妻：(A,a)與(B,b)〔大寫代表丈夫，小寫代表太太；或你喜歡要大寫代表太太小寫代表丈夫自己開心就好，就自己複製到word上，Ctrl+F再全部取代即可〕

在道士還沒說這句話以前：

A(knows) —> b is unfaithful

B(knows) —> a is unfaithful

第0天：

道士說：你們這個村莊有「一位」太太不忠

對A而言，A —> b is unfaithful，所以A認為道士說的是b

對B而言，B —> a is unfaithful，所以B認為道士說的是a

第1天：

A會稱讚自己的太太，因為他知道是對方的太太不忠，所以也預期應該會看到B咒罵自己的太太(因為道士說只有1位太太不忠，而A認為那一位是b)

相同的反應也會出現在B身上，B會稱讚自己的太太，因為他知道是對方的太太不忠，所以也預期應該會看到A咒罵自己的太太(因為a與b有一位不忠，而B認為那一位是a)

但是A卻看到B沒有咒罵b，B也看到A沒有咒罵a

看到這個行為…

對A而言，A知道了原來B知道a是不忠的；對B而言，B知道了原來A知道b是不忠。

第2天：

所以A與B皆知道了原來自己的太太不忠，會後便站起來大聲咒罵自己的太太

(2)如果是三對夫妻的狀況：

三對夫妻：(A,a)(B,b)(C,c)

在道士還沒說這句話以前：

A(knows) —> b,c is unfaithful

B(knows) —> a,c is unfaithful

C(knows) —> a,b is unfaithful

第0天：

道士說：你們這個村莊有「一位」太太不忠

對A而言，A —> b,c is unfaithful，道士說的不是b就是c

對B而言，B —> a,c is unfaithful，道士說的不是a就是c

對C而言，C —> a,b is unfaithful，道士說的不是a就是b

第1天：

A會稱讚自己的太太，因為他知道是b,c在不忠，所以他也預期應該會看到B或C會咒罵自己的太太

相同的B…

B會稱讚自己的太太，因為他知道是a,c在不忠，所以他也預期應該會看到A或C會咒罵自己的太太

相同的C…

C會稱讚自己的太太，因為他知道是a,b在不忠，所以他也預期應該會看到A或B會咒罵自己的太太

結果第1天晚上大家都在讚美自己的太太，看到這個行為…

對A而言：

A知道，原來B不知道b不忠，C也不知道c不忠，但經過今天晚上B看到C讚美自己的太太，且C看到B讚美自己的太太，A便認為B與C會知道原來b,c其中一個人是不忠的…(其實就回到二人的case)。

所以明天他應該會看到B與C皆咒罵自己的太太，同時間B與C也會有相同的推理，認為明天應該會看到另二個人其中一人會咒罵自己的太太

第2天：

會後A,B,C皆會讚美自己的太太，看到這個訊息後，對A而言，他看到B,C皆讚美自己的太太，就知道：原來B,C都知道a是不忠的，相同邏輯，B,C也都知道原來另外二位丈夫知道自己的妻子不忠。

第3天：

擁有第2天的訊息後，他們便知道自己的太太是不忠於自己的，第3天會便全部站起來咒罵自己的太太。

相同的邏輯可以往下推至4對,5對….100對….1000對夫妻…

如果有k對夫妻，隨著每過n天，就會往下遞減到k-n的Case，(定義的起始天是第0天或第1天，會影響k,n的關係)。

———————(這條本身是個分隔線)——————–

以上的Common Knowledge，不只賽局理論，很多經濟學模型在分析問題時，會把人類的行為決策假設成是擁有Common Knowledge的經濟人(Homo Economicus)。

經濟人基本上是個大腦擁有超級運算能力的超人，例如在100對夫妻的例子中，可以準確無誤運算各種狀況，所以100個丈夫可以精準的在第100個夜晚同時發現自己的無言與無奈，但，Common Knowledge的假設合理嗎？把人的大腦假設成這種運算能力合理嗎？

賽局裡定義的Common Knowledge是很強的假設，不可能直接應用在真實社會中。若我們只截取當中部份概念，例如一些約定成俗的社會規範(Social Norm)，是否有Common Knowledge的概念在內？

例如過馬路遵守交通號誌即是一例，你怎麼知道對方跟你一樣知道紅燈要停綠燈可以走？這些社會規範一開始也許是透過法律的約束、公約的制定、或相同的生活習慣演變而來，又例如，台北捷運把整個北台灣人類搭乘電扶梯的行為自動趨於一致，即使在百貨公司也能看到大家將電扶梯左邊走道讓出。

但如上述例子，僅限於Social Norm嗎？

1.求婚有Common Knowledge的概念在裡面嗎？(如果不是，為何求婚成功的機率相對失敗高很多？你怎麼知道對方會答應？你怎麼知道對方知道你在什麼場合/時機/幾克拉，求婚會被答應？)

2.台灣選舉文化中的棄保投票有Common Knowledge的概念嗎？(我如果要投棄保票，如何知道其他人也會選擇投棄保票？如果我決定投棄保票，別人知道我的決定嗎？別人知道我知道他知道嗎？)

3.「信任」與Common Knowledge的關係是什麼？