fractal
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L-system是由匈牙利生物學家Aristid Lindenmayer在1968年所開發出來的。Lindenmayer開發L-system的主要目的，是要建立可用於描述植物在生長發展中，其細胞交互作用行為的數學模型。時至今日，L-system也用於描述整株植物的發展型態。
碎形樹(fractal tree)是碎形界除了Cantor集、Koch曲線外，另一個無人不知、無人不曉的圖案。比較特別的是，製作Cantor集跟Koch區線時，所使用的方法不帶有任何隨機性在裡頭；但在製作碎形樹時，可以加入隨機性，讓畫出來的碎形樹長相，更接近大自然中樹木的真實模樣。
Koch曲線(Koch curve)，碎形界另一個名氣響噹噹的圖案，是由瑞典數學家Helge von Koch在1904年所提出的。Koch曲線的製作規則非常簡單，就是把一段線段三等分，然後以中間那等分為底部畫出正三角形，接著把底部挖掉。不斷針對新形成的線段重複同樣的動作，就可以產生Koch曲線了。
除了自我相似性之外，碎形的另一個基本組成部分是遞迴(recursion)。遞迴指的是，利用稱為製作規則(production rule)的同一套規則，不斷地進行迭代，而且每次迭代時，都會把上一次迭代的結果，作為這次迭代的起點。
「fractal」這個字，有人翻譯成「碎形」，也有人翻譯成「分形」，是Benoit Mandelbrot在1975年，根據拉丁文中含有「零碎」、「破裂」意思的「fractus」這個字所造出來的。
放眼望去，自然界中大部分的事物，長得都不是歐幾里得幾何圖形的樣子，也都不是歐幾里得幾何所能夠描述得很好的。如果我們想要創造一個像真實世界一樣的模擬世界，除了歐幾里得幾何之外，有沒有更適合的工具可以用呢？有的！這個更適合用來描述自然界事物模樣的幾何工具，就是這章要介紹的「碎形」(fractal)。
利用L-system畫出來的fractal圖案，最大的特色就是，橫看、豎看、左看、右看，全都一個樣，所以感覺總是不自然。就拿畫樹木來說吧，即便樹枝長度可以不一樣長，但是分岔的角度卻都一樣。所以囉，乍看之下，挺像一棵樹的，但仔細看的話，卻總覺得哪裡怪怪的，太人工化了。那怎麼讓它自然一些呢？
解決了Spyder和turtle之間的不合後，就來畫些漂亮迷人的fractal圖案，也順便練習一下recursive function的寫法。
你真的必須對實驗有很深很深的承諾（與投入）；否則，它不起作用，無法工作。正如你所看到的，「程序」的密度無處不在。
