Cesare切薩雷
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我們在 Day 4 時花了大量篇幅講解 Shapley Value 的四大特性：效率性、對稱性、虛擬玩家零收益、可加性。今天要反過來證明說，如果有個效益分配函數滿足這四個特性的話，則這個 f 必定就是 Shapley Value
在合作賽局理論裡，將「特徵函數」視作「向量」，並把所有賽局形成的集合看作一個「向量空間」，能夠為我們提供許多強而有力的數學工具。例如，我們可以用基底來唯一地表達任意賽局，進一步在此空間進行公設、解概念的分析。
本文介紹三大圖論合作賽局：(1) 最小生成樹遊戲：連接供應端；(2) 最短路徑遊戲：共用路段省成本；(3) Steiner樹遊戲：中繼站增彈性。它們均以「子聯盟最小費用」定義成本分攤，廣泛應用於基礎建設、物流等場域。
本案例運用常態近似計算兩家保險自留團體的必要儲備金，證明合併能節省成本，為一個「成本分攤賽局」。再透過合作賽局理論，採 Shapley Value 與核心解，分析利益分配的公平性與穩定性，展現精算與博弈思維的實務價值。
本案例以 Jean Lemaire 在 1991 年發表的〈Cooperative game theory and its insurance applications〉為主要依據，探討保險（或廣義金融）領域中，多家機構共同投資或合資存款後所產生的「合作利益如何分配」問題。
昨日我們看了「市場遊戲」，主要是探討交易者之間結盟，彼此互通有無，則可以創造更大的效益。大家合作是為了「賺更多錢」。今天我們來考慮另一類賽局，大家合作是為了「省下成本」，叫做成本分攤賽局（Cost Allocation Game）
透過服裝市場範例，闡述市場遊戲在合作賽局中的基礎架構與運作模式，展現資源互補成果。透過資源重新分配形成聯盟，顯示了增進總效用可能性，並證明市場遊戲具有超可加性。
本文從字典序不對稱性與凸組合的觀點出發，證明核仁在合作博弈中具唯一性。
透過前 k 個不滿值總和的比較與凸組合保持特性，顯示同時滿足字典序最小時，不滿值向量必一致，從而推出分配方案相同，最終完成唯一性論證。
核仁存在性的關鍵在於：若合作賽局的 Imputation set 非空且緊緻，則可使用極值定理在該集合上逐步最小化不滿值向量，最終得到字典序最小的分配，亦即核仁。故只要 I(v) 非空，核仁即必然存在。
核心 (Core) 是合作賽局中最直觀的穩定解，但有些賽局的核心可能為空、無法同時滿足所有人。此時，我們便退而求其次，將「抱怨」壓到最小，這正是「核仁 (Nucleolus)」的概念。
謝博丞
10 小時前
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