今天來介紹一個合作賽局中的重要範例：市場遊戲 Market Game
舉例與模型建構
考慮一個服裝市場，每套完整服裝需包含一件上衣與一條褲子。市場上有三位賣家，他們各自擁有的初始資源如下：
- 賣家 1：擁有 2 件上衣，但沒有褲子
- 賣家 2：擁有 7 件上衣，但沒有褲子
- 賣家 3：擁有 3 條褲子，但沒有上衣
單獨而言，因為賣家只持有部分商品，無法獨立組成任何一套完整服裝（完整服裝需要同時具備上衣與褲子）。然而，若這三位賣家形成聯盟，共同將各自的資源整合，則聯盟的總資源為
在這樣的情況下，聯盟最多可以組成
這個例子展示了合作如何將個體資源的不足互補起來，從而使聯盟達到更高的總效用。
數學模型
市場遊戲在抽象的數學語言中可以描述為一個四元組：
其中 N 是指所有的玩家，或者說交易者（trader）
第二個元素
是指商品空間
第三個元素
其中
是指交易者 i 在一開始所擁有的商品數量，以及初始資源分配。
第四個元素
其中
是交易者 i 的效用函數。
剛剛的例子在這個數學模型裡面
玩家集合就是 N = {1, 2, 3}
商品空間
初始分配：
效用函數：對每個玩家都是
對於聯盟 S=N，可行分配 x = (x1, x2, x3) 需滿足
因此，聯盟 N 中通過合作能夠組成的完整服裝數為
故 v(N) = 3
市場遊戲是超可加
市場遊戲的一個重要性質是超可加性，即對於任意兩個不相交的聯盟 S 與 T，有
對各自聯盟選取最優分配
對於這兩個聯盟 S 與 T 分別存在最優分配
使得
與
構造聯合分配
現在定義聯盟 S ∪ T 的分配為
對於 i ∈ S，令
對於 i ∈ T，令
於是
總效用比較
根據市場遊戲的定義
於是證明完畢。
Takeaway
合作提升效用：單一賣家由於資源不全（僅有上衣或褲子）無法組成完整服裝，但通過合作可將各自的資源互補，從而形成完整服裝，提高總效用。
數學模型刻畫合作：市場遊戲被形式化為四元組
其中玩家集合、商品空間、初始資源分配及效用函數共同描述了合作賽局的核心結構。
聯盟價值函數：對於任一聯盟 S，其價值函數 v(S) 表示該聯盟通過資源重新分配所能達到的最大總效用，展示了合作的潛在利益。
超可加性：市場遊戲具有超可加性，即對於任意不相交的聯盟 S 與 T
這一性質強調了聯盟合併能產生協同效應，促進更大的合作。
Reference
Peleg, Bezalel, and Peter Sudhölter. _Introduction to the theory of cooperative games_. Vol. 34. Springer Science & Business Media, 2007.
