Day 17 案例研究：精算數學（一）

問題描述

假設有三個組織欲將各自資金合併存入銀行，以獲得更高之定存利率：

組織 1（ASTIN, Actuarial Studies in Non-life Insurance）

為國際精算師協會（IAA）的非人壽保險分會，可投入 1,800,000 比利時法郎

組織 2（I.A.A., International Actuarial Association）

國際精算師協會本部，可投入 900,000 比利時法郎

組織 3（A.A.Br., Association des Actuaires de Bruxelles）

布魯塞爾精算師協會，可投入 300,000 比利時法郎

當地存款利率結構如下表所示：

假設我們進行三個月的定存，則若他們各自存的話：

ASTIN 單獨存 1,800,000（介於 1,000,000～3,000,000 之間），年利率 10.25%，三個月約 46,125 法郎

I.A.A. 單獨存 900,000（低於 1,000,000），年利率 7.75%，三個月約 17,437.5 法郎

A.A.Br. 單獨存 300,000（低於 1,000,000），年利率 7.75%，三個月約 5,812.5 法郎

三者分開時三個月利息合計約 69,375 法郎。但若三方合併存款，總額會達到 3,000,000，可享 12% 年利率，三個月利息約可達 90,000 法郎。合作可以產生更多的效益

特徵遊戲模型

令玩家集合 N={1,2,3} 分別代表三個組織。特徵函數 v(S) 為該聯盟 S 能取得的三個月利息金額。根據利率門檻可計算出：

顯然這些值滿足超可加性，那我們來看看如果全體聯盟形成的時候，該如何分配利息

Shapley Value

我們可以在 Sage 的命令行介面輸入以下程式碼：

from sage.game_theory.cooperative_game import CooperativeGame

# 定義特徵函數 v，使用 tuple 做為 key
v = {
    (): 0,
    (1,): 46125,
    (2,): 17437.5,
    (3,): 5812.5,
    (1,2): 69187.5,
    (1,3): 53812.5,
    (2,3): 30750,
    (1,2,3): 90000
}

# 建立合作博弈物件
G = CooperativeGame(v)

# 計算並輸出 Shapley Value
shapley_val = G.shapley_value()
print("Shapley Value:", shapley_val)

SageMath 計算完畢後會吐出

Shapley Value: {1: 51750.0000000000, 2: 25875.0000000000, 3: 12375.0000000000}

核心

# 匯入符號運算與繪圖
var('x1 x2')

# 列出我們要同時滿足的不等式
ineqs = [
    x1 >= 46125,          # x1 >= v({1})
    x2 >= 17437.5,        # x2 >= v({2})
    x1 + x2 <= 84187.5,   # x3 >= 5812.5
    x1 + x2 >= 69187.5,   # v({1,2}) = 69187.5
    x2 <= 36187.5,        # x1 + x3 >= 53812.5
    x1 <= 59250           # x2 + x3 >= 30750
]

# 使用 region_plot 繪出同時滿足這些不等式的區域
p = region_plot(
    ineqs,                    # 不等式列表
    (x1, 40000, 62000),       # x1 繪圖範圍，可酌情調整
    (x2, 10000, 45000),       # x2 繪圖範圍，可酌情調整
    incol='lightblue',        # 填充顏色
    bordercol='blue',         # 邊界顏色
    alpha=0.5                 # 填充透明度
)

# 在圖上加文字標示
p += text("Projected Core Region", (50000, 40000), color='black', fontsize=10)
p.axes_labels(['x1','x2'])

# 顯示繪圖
p.show()

Reference

Lemaire, Jean. "Cooperative game theory and its insurance applications." _ASTIN Bulletin: The Journal of the IAA_ 21.1 (1991): 17-40.