今天來談一下「頭文字一」，不是那個「秋名山最速傳說」，會用「水溝蓋過彎」的「頭文字D」，別搞錯了喔！
請各位讀者數數你口袋裡的錢，這個數字的第一位數是多少呢？比如說你身上有一萬多、一千多、十塊錢、一塊錢，這個「第一位數」都是「1」，依此類推。如果對我們板上的讀友們做個調查，各位覺得這個數字的「頭文字」分別是1、2、3…一直到 9 的出現機率應該是多少呢？答案後面再說，先來看一下歷史。科學與工程中經常需要做「對數」的計算，在一百多年前還沒有電子計算機的時候，大家要算對數都要去查一本厚厚的「對數表」。對數表有點類似英文字典按字母順序，是按照數字順序編排的，例如不管是要查 12345 或是 0.012345，就是掀翻到「1」的部分（會在對數表的最前面），然後在「1」這一部底下又分為「11」、「12」、「13」…「19」這九個部分，找到「12」那部分後，裡面會再分為「121」、「122」、「123」…「129」，依此類推，跟查字典一樣，要找「the」的話，先翻到「t」開頭，然後在「t」的部分找到「th」，再找「the」。
1881年時，有一位天文學家Simon Newcomb（附帶一提，他也是個科幻小說家）在圖書館查對數表時，發現從書的側面看過去，有一些頁面特別黑，表示那幾頁經常被翻查，所以弄得比較髒，有些頁面就比較乾淨。事實上，「1」的頁面最髒，「2」次之，越大的數字越乾淨。Newcomb覺得有點意外，照直覺來想，來自各個領域的人所查的五花八門的數字，應該沒有特別的偏好，會滿平均的分佈才對，為什麼第一位數越小的頁面，被翻查的次數就越多呢？
從書頁側面變髒的程度就可以知道哪些部分念得比較認真（來源：我的ARFKEN物理數學神書）
Newcomb對這個問題作了一些研究，也發表了一篇論文，提出「第一位數字」的分布公式：P(d) = log(1+1/d)，這裡的 P(d) 是從 1 到 9 的數字 d 出現在第一位數的機率 log 是「以 10 為底的對數」，不過並沒有引起太大的注意。
Benford’s law，第一位數字從一到九的機率分布，數字越大出現的機率越小。
這個公式就這樣沈睡了大約50年，到了1938年，另外一位天文學家Frank Benford因為一模一樣的原因再度發現了這個定律，並且驗證了更多的數據，比如說城鎮人口、河流灌溉的流域、物質的比熱、報紙頭版上出現的第一個數字（日期除外）、物理常數…等等，發現都符合這個分布。這次 Benford 發表的論文，獲得科學界比較大的關注，這個「第一位數字定律」，也因此被命名為 Benford’s law，其實說起來，應該要叫做 Newcomb’s law 比較合理。
這個定律非常神秘，因為它幾乎可以用在來自不同領域，各式各樣的數字上。當然有一些數字是不適用的，比如說數字是作為「代碼」而不是「計數」之用，例如身份證號碼的第一位數只有1（男生）、2（女生）兩種可能，當然就不符合Benford’s law。但是例如文章一開始的例子「你身上有多少錢」，或者是「你家門牌號碼幾號」，這樣的數字如果收集得夠多，就會符合Benford’s law。
其他像是「財務報表」上面的數字也會符合——這就很有用了，事實上也曾經有利用Benford’s law抓到逃稅、作假帳的案例。由於Benford’s law並非「直覺上想當然耳」的分布，而人類心理上作假時，會有「避免極端值」的傾向，因為覺得數字太極端會產生「槍打出頭鳥」的結果，所以在竄改數據時，首位數用了太多的4, 5, 6等中間數，違反了「頭文字1」的法則，結果就被逮到了，現在有一些會計軟體已經內建Benford’s law的檢測，這也算是物理學家對社會科學的貢獻吧！
當然，如果造假者知道這個定律，就會把假數據修正到符合Benford’s law了吧，所以念物理真的很重要！（這什麼結論…）
這個定律也在2009年伊朗的總統大選中登場，由現任總統Mahmūd Ahmadinezhād 贏得連任的這場選舉充滿了爭議，舞弊的指控滿天飛，還引發了「綠色革命」的抗爭，有高達300萬人在德黑蘭示威，後來有36人喪生，4000多人被捕。舞弊指控中一個證據就是有一位落選人Karoubi在各個選區的得票數分布，頭文字是7的比例異常的高，違反了Benford’s law。最後的結果呢？只證明了科學無法解決政治問題，Mahmūd Ahmadinezhād 還是在國內爭議與國際譴責中當到2013年卸任。
2009年伊朗大選，落選人Mehdi Karroubi在各區得票數的首位數字分布M，黑色為Benford’s law，灰色為實際分布。（來源：維基百科，CC BY 3.0）
最近的新聞（是什麼新聞不能說，怕被關站）開始有一些關於Benford’s law的報導了，在此幫看不懂的網友們服務一下囉！
#超中二物理宅雜記 其之 208
Newcomb發表在American Journal of Mathematics 的論文（1881）：http://www.uvm.edu/pdodds/files/papers/others/1881/newcomb1881a.pdf
Benford 發表在Proceedings of the American Philosophical Society的論文（1938）：https://www.jstor.org/stable/984802
