上古漢語的邏輯結構 031

1.0 從函數到函算語法

1.2 函數概念小史

1.2.1 中譯的來源

1.2.2 一個速度問題

1.2.3 幾何的方法

1.2.4 微積分的記法

四

牛頓的「流數」不久便淡出歷史的舞台，後來的數學工作者選擇了萊布尼茲比較抽象的「函數」。

公元1673年，萊布尼茲在一篇名為〈觸線或用於函數的逆反方法〉(Methodus tangentium inversa, seu de functionibus) 的手稿中引進了「Funktion」(函數) 一詞。兩者比較，牛頓的流數仍然困囿在幾何的思考方式中，原因大概是他心中有具體的議題要解決。他要解決的是如何計算天體運行的軌道，他想像一個幾何點在曲線上流動的一連串位置，因此便用了拉丁詞「fluxion」，即流動之意。雖然萊布尼茲有說過「觸線是曲線的函數」這樣的話，但他的記法，就某些數學工作者而言，比較有普遍性 (相對牛頓的記法來說)。牛頓要計算天體運行的軌道，因此他的變元隨時間變動，即瞬間的變動﹔萊布尼茲則考慮變元一般的變動，即覆蓋無窮緊密的值的變動。無窮緊密的值逐次排列為序列，萊布尼茲用「dx」和「dy」表示這些值之間的差數。但在決定用「dx」和「dy」分別表示 x 和 y 的微分之前，在1675年的最後幾個月，萊布尼茲反覆試驗了好幾個符號。他最初試用「ω」表示變元 y 的微分，後改用「l」，之後改用

最後在決定用「dx」和「dy」之前，他又試用了

以表示 x 的微分。這時，他亦開始使用

的導數記法。

萊布尼茲推敲﹕假如 x 從 x 變動到 △x，而 △x 是 x 的無窮小變動，我們如何計算 y 的變動值﹖

記得 y 的變動來自 x 的變動，所以 y ＝f(x)。

既然 y ＝f(x)，我們有 y＋△y ＝ f(x＋△x)。當 x 的變動量為 △x， △y 就是 f(x) 函數中的變動﹔也就是說 x 的無窮小變動 △x 導致 y 的無窮小變動 △y。

有趣的是，萊布尼茲的思考方向出奇地類似牛頓的思考方向，但這時他拐了個彎，轉而思考關於 y 的無窮小變動和 x 的無窮小變動兩者間的比率的問題﹕

假如 x 趨 0，上述分數會發生什麼事情呢﹖

使用我們用過的符號，這個問題可以表達為﹕

萊布尼茲認為，只要 y 或 f(x) 屬於適當的函數，前述等式的右邊可以是有意義的數量。採用我們剛介紹過的萊布尼茲記法，

等式的右邊就是萊布尼茲記法。因為 y＝f(x) ，顯然，

這便是 f(x) 對 x 的瞬間變動率。比較準確的說法是﹕dy 和 dx 兩個量分別是 y 的導數和 x 的導數，而它們的比率表示某導函數，假如有這樣的一個導函數的話。

牛頓的流數記法則這樣表示﹕

，即

，現代記法則是

固然，對函數關係的理解，牛頓和萊布尼茲還是處於摸索階段，但萊布尼茲似乎更自覺地意識到函數的特殊關係，而牛頓的記法則頗為含糊﹔後者從牛頓的流數記法便能見到，前者從比較精致的萊布尼茲記法便看得出來。讀者亦可以參考萊布尼茲與瑞士數學家約翰•貝努利 (Johann Bernoulli) 的通信 (1694-1698)。[Cajori 1909: 262-263; Cajori 1923]

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待續