前兩篇講了許多，但我人微言輕，憑藉什麼讓人買單？
網路上不也很多人做過討論了，這裡所說的又有什麼不一樣？
以下，我們就來用數字說話，基於不同程度的簡化與假設，逐步做說明。開始之前先說一句：無誠勿試。
固定收益下的資產累積：一條公式解決多數情境
首先，固定收益的意思指的是取息時間固定而可預知，每一期的報酬率(例如債券的利息)儘管可能會變動但仍為可預知者。如果手邊有歷史資料可鑑往知來，對於波動程度與風險不一的證券商品，在簡化條件下可先假設其每年可以提供固定的報酬率，例如，透過2012年初至2019年底的台灣報酬加權指數我們即可推論近年的大盤年均報酬率有10%的水平。我們也先假定年均報酬率與證券帳戶資產大小無關，這是現實中很不容易達成的一項。
接著，要怎麼考慮本金？這邊建議以資產倍數來考量，定義某年之資產倍數為當年的資產市值除以初始本金，並把10萬翻至100萬與100萬翻至1000萬的情形假設為相同，都是將資產倍數翻10倍的過程。實際上，不同本金投資時的費用和流動性造成的摩擦成本可能並不相同，這點與前述的年均報酬率對上資產大小的關係一樣，在此都先做簡化。
我們也考慮後續本金的持續挹注，例如來自於正職工作每年的年終或績效獎金。在此將其以每期挹注本金除以初始本金來表示，意即「先投入100萬之後每年固定投入10萬」與「先投入10萬之後每年固定投入1萬」對於資產倍數的影響是一樣的。
還有一件非常重要的事情，那就是獲利再投入與否。產生的利息或股息，如果沒有再投入買進標的的話，長年下來會出現極大的差距，這就是複利的力量。即便多數人都知曉這點，但實際操作上卻常常被輕忽。
以下以半對數作圖呈現不同情境下的資產倍數對投資年數關係，可以看到複利、高年均報酬率，以及持續的本金挹注下可以加速資產翻倍(圖中的情境V)。
補述一點：上述情境II與情境V的差別在於有無持續的本金挹注(情境V中每期會追加10%的初始本金，情境II則無)，因此需注意資產倍數的差異有一部分來自於本金大小的不同；要比較兩情境的成因，可將情境II視為每期都沒有可動用的盈餘，而情境V有且將其用於投資上，以有助於和人生現實狀況做連結。
以下是試算表版面及公式的簡要說明。如有興趣可自行以Excel或熟悉的程式語言如Python作嘗試。
以上述結果而論，我們已經知道了幾個主要加速資產翻倍的關鍵，然而所算出的達到財富自由所需年數似乎不怎麼令人雀躍，這樣的投資方式或許比較適合為你的子女理財；如果是想為了自己，好像只能盡可能省吃儉用與降低對翻倍數字的要求了？
在進入下一個小節前，先來點碎碎念。
我們很常看到這個說法：假設你在1990年代買了XXX然後放個30年，如今你有多少資產云云。用來鼓勵有閒錢的人投資而言是很不錯的話語，但其不切實際性令人捏把冷汗。試想，除非你忘記了曾經有這個證券帳戶(而30年後你很神奇地想起了它，而且這個帳戶很巧地它可以幫你做好複利投資)，你怎麼可能不在過程中生活的不如意或是金融市場的變幻無常之下不去把它變現，然後在30年後的今天看到了那段話而感慨千金難買早知道？
關於這點，我想插個話提個姑且稱之為「體感時間」的影響[註]：如果你買了一支股票之後把APP刪了，對你而言數年如一日；如果你今天開盤時搶進了一檔高價股作無本當沖，那接下來每一分鐘內的幾次行情報價都會讓你感受到時間流逝所帶來的壓力，收盤時有恍若隔世之感；如果在股價緩跌或盤整時不斷看盤，反轉起漲時也容易賣出後追悔。除非你的買進和賣出都存在明確的依據和邏輯，否則為了長期投資最好縮減關注行情的頻率(但也不要雙手一攤眼睛一閉，之後完全不關照…)，包含股價、利率、匯率等。
儘管能做到這些，我相信這樣的30年仍然不容易。
註：這裡所說的體感時間想表達的是注意力對於時間知覺上的影響。例如看了一場好球賽，因為過程中投入而未被打斷而會覺得這樣長時間的過程很短，而看了一部爛電影會頻頻出戲，這樣的屢次中斷把觀影的過程切成了許多時間小片段，而造就了整體時間相當長的「時間錯覺」。另外，當第一次遭逢突如其來的意外或事件時(例如躲在公司廁所內看到股市閃崩)，也會覺得當下的時間過得非常長。在此並沒有要很嚴謹地帶入心理學與神經科學等領域所提及的「時間知覺」概念，故用另一個平易近人的名詞作替代。
主動投資下的資產累積
如果生涯財務規劃的對象是自己，為了要讓達到財富自由門檻的所需年數稍微合理一些，我們必須去磨練決策和執行的能力，透過主動投資來追求更高的報酬(更好的目標是追求高風險報酬率，在此先不細究)。
另外這個方法的延伸是在達到財富自由門檻時，仍保留一部分資金持續做主動投資其餘可做固定收益的規劃，如此在加強績效、分散風險的同時也不太需要怕退休後無事可做了。
面對不確定報酬率的標的我們要怎麼模擬情境呢？
首先，關於主動投資我們先做個假設：市場上永遠有符合條件的標的存在。台灣上市櫃股票和ETF數量合計接近2000檔，在不同時間點下總會出現以特定模式溫漲或飆漲的股票，投資機會總是不缺的。接下來，我們需要模擬這雀屏中選的標的它的行為模式。以我個人的選擇來說，主動投資就是要找有大波段行情的股票，這類型的標的波動劇烈、大起大落。
然後，就要看怎麼樣去模擬這類型價格活潑、沒有固定報酬率的標的。對於統計有概念的人可能會想到用常態分布決定每日、每月，或每年的報酬率，然後經過各種繁複計算後用於模擬資產倍數對投資年數的走勢。又或者，知道隨機漫步理論的人也會以此來模擬股價每日走勢，經過繁複計算後再來模擬資產倍數對投資年數的走勢。
這兩類型的方法，模擬大盤表現上或許理想，但無法適用於我們的需求。
這裡提供些有趣的圖表給對於統計有興趣的人們作為額外資訊參考。對於長期的大盤指數來說，月報酬率分布似乎有點接近常態分布(如下圖台灣上市指數2000年1月至2020年12月止每月報酬率之Q-Q作圖)，但在極端行情出現機率上卻高於常態分佈的預期；而對於股價大起大落的個股，其表現只會更傾向於背離常態分布，產生更顯著的厚尾(Heavy Tail)，也可能同時顯著偏向正報酬或負報酬。
同一個時間區間下(2000年1月至2020年12月)的標普500指數月報酬率分布：
同一個時間區間下(2000年1月至2020年12月)的納斯達克指數月報酬率分布：
如果統計理論無助於模擬個股行為，那麼最直觀的方法就是依據經驗法則了，就歷史出現過的走勢作觀察然後歸納。
以下模擬了五種不同波動程度的個股標的，表列數據為它們各年份的報酬率表現，可以看到除了標的V(死魚定存股)之外，我使個股價格飆升的年份可以提供50-200%的報酬率；即便扣除2020與2021年的台股火熱表現，真實環境下要找到這樣的股票仍不會太困難，故可視為合理的安排。由於經過設計，這五欄數據同時保證了它們十年間的表現貼近台灣報酬加權指數(年化報酬率約10%)，對真實存在的個股而言，這倒是不容易滿足的條件。
如果我們採用存股策略，初期本金買進持有之後不定期更換標的，則會得到下圖的走勢：
可以看到飆股的大幅獲利總是在之後回吐，資產倍數也像是階梯般的成長。只是追求大飆股但不作定期換股，長期下來不容易有優於大盤的報酬。
如果有持續挹注本金，但還是買進持有，結果只是略有不同：
儘管每年的報酬總是都不同，但我們可以假定良好的定期換股操作或汰弱留強可以幫助我們提高年均報酬率。這裡假定透過這樣的策略我們可以長期得到年均25%的報酬率，是個遠優於大盤的表現，也因此要達到並不是很容易；高於25%的報酬率不會不可能(我認為上限約為50%，理由可以參照上述模擬個股的年報酬率表)，但就真的是要靠卓越的技巧以及天分了。
注意，這裡的「長期」指的是自投資技巧穩定以後，至達到財富自由門檻為止的時間長度，數年至數十年不等。在初入門至技巧穩定的一段時間大概需要數年時間，期間本金大小和虧損的控制(一般人所稱的繳學費)相當重要。
對於一般人而言，使用的高獲利技巧可能具有胃納量的上限，加上時間心力有限，本金放大後很難維持原本的高績效。在這個時候，與其接受報酬率降低的完全主動投資，採用主動與被動投資搭配會有相當的獲利能力，節省時間心力之餘也有分散風險的額外效果。
下圖的唯一變數是主動投資部位的大小上限，以相對於初始本金的倍數來衡量。可以看到不同情境下資產翻倍的年數差異。透過優異的主動投資技巧，可以大幅縮短資產翻倍的年數。
透過這張圖，我們也可以決定應該給自己多少年限去摸索主動投資。假設目標為將初始本金翻10倍，採取完全主動與完全被動投資各需要9年和18年的時間，差距為9年，那麼我們可以給自己3至5年的時限來摸索。
文末，再多提兩點主動投資的注意事項：
- 主動投資在開始能創造高報酬率之前不僅需要相對於被動投資較長的時間累積經驗和技巧，這段過程中也可能出現本金的虧損，因此主動投資在縮短財富自由所花年限的效益可能不若預期。
- 若從事主動投資卻不致力於相關知識和技術的累積、以及思考和分析能力鍛鍊的人，表現不會優於被動投資，而離財富自由更遙遠。
總結
- 年均報酬率、複利、持續的本金挹注，為縮短資產翻倍年數的三大要因。
- 主動投資的高報酬率並非買進看漲的股票後放著即可，而是需要適時的換股操作，汰弱留強。達到高報酬率前可能會有一段不短的摸索期造就額外時間花費與本金虧損，這段時期也會是最難熬的。
- 對多數人而言，資產放大之後整體報酬率會下降，原因為高獲利技巧具有胃納量上限，同時自身也有時間和心力上的限制。此時與其接受完全的主動投資，不如採取主動與被動投資搭配的方式，如此或多或少也有分散風險的效果。
文章縮圖來源：咖啡柚子
本文最新版本：2021.8.6
本文初版發布：2021.8.6
