數學可以推算緣分？！還能戳破詐騙？——《一條線有多長？》

喬治習慣在早上刪除垃圾電子郵件。今早他注意到一則內容，郵件主旨說明：足總盃驚人預測結果。他感到好奇，於是點選閱讀詳細內容。他看到以下信息：

喬治淡然一笑，並沒有細想，到了下午，他照例轉台看比賽結果，科芬特里市隊獲勝。他想，「反正他們勝算原本就比較高。」

三週之後，他又收到一封信。

喬治有點好奇，並等待當天下午的結果，不過也只是稍微多加關注。結果是一比一平手，看吧，上回只是僥倖。

不過，下週二的重賽結果，密得堡隊以二比零獲勝幾天之後，足總神算堂又寄發電子郵件，這次是預測第五輪異軍突起，燦美爾流浪者隊會擊敗密得堡隊，結果正如此。這時便進入複賽，預測燦美爾會敗給托特汗姆隊，又對了，結果是猜四中四。

下一封信來了：「我們知道這是一套傑出系統，而且現在你大概也比較相信，我們確實有兩把刷子，兵工廠隊會在準決賽時擊敗伊普斯威奇隊。」喬治實在不敢相信。他已經告訴許多朋友，於是在當天下午，他們一起密切注意實況報導，盡管兵工廠隊一路落後，最後卻以二比一獲勝，這太驚人了。

隔天又寄來一封電子郵件：

「兩百鎊有點貴！」喬治尋思，「不過，倘若知道誰會贏，我就能夠從博彩業者身上把那筆錢賺回來，而且還多贏一千倍。」然後，他就這樣完全信服，並且掏出他的信用卡。

不過，其中到底哪裡有詐？這和嬰兒預言神棍不同，我們已經看到五次正確預測，當然這裡確實有點門道。且讓我們看看其他顧客從足總盃神算堂收到哪些電子郵件，這樣就能看出哪裡有詐。

就在騙局開始的第一天上午，吉姆在附近辦公室裡，也和喬治同樣收到一封電子郵件。當然喬治的電子郵件是說明「我們預測科芬特里市隊會擊敗雪菲爾德聯隊」，不過說來奇怪，吉姆的信則是「我們預測雪菲爾德聯隊會擊敗科芬特里市隊」，後來雪菲爾德聯隊敗北，從此吉姆就不再收到其他電子郵件。另外在十五公里之外，黛比收到的第一和第二封信預測，都是科芬特里市隊會獲勝，後來他們在第四輪戰敗，此後她也不再收到電子郵件了。

事實上，這套騙術簡單得令人不敢置信。最初是寄出八千封信，對象則是已知對足球有些興趣的人士。隨機選出一場比賽，告訴半數收件人科芬特里市隊會贏，另外半數則是雪菲爾德聯隊獲勝。當然，其中四千人會收到「正確」結果，另外半數則會刪除郵件，並從此忘了這回事。

下一回合有兩千人收到科芬特里市隊獲勝，另外兩千人則為密得堡隊。發展至此，肯定會有兩千人收到猜二中二的預測結果。當然了，足總盃神算堂只會向獲勝者繼續寄發電子郵件，這樣一來，到了決賽時，就會有兩百五十位收到五次正預測結果，於是那兩百五十位人士就會覺得非常特殊。（換做是你，你也會吧？）特殊得讓其中五十人交出兩百鎊，因此經營騙局的人便獲得豐厚利潤，其實他們除了發送電子郵件之外，根本什麼事情都沒有做。

這類騙術都是在利用我們的一種自然傾向。我們都自認與眾不同，因此當運氣來了，其中必然事出有因。收到預測郵件的人士當中，保證每三十二位中只有一位會收到五連中的結果。另外三十一位會收到一次錯誤預測，於是信息就此中斷。這次恰好就是喬治運氣好，也因此他當然會自覺與眾不同，不過請記住，這和樂透一樣，當然也會有人中頭彩。

這個足球情節和嬰兒騙局同樣是虛構的，不過類似這種違法騙術層出不窮。你可以想像，這類情節在股票市場偽科學界還特別有效，狡滑的顧問或許會向半數潛在顧客推薦，說是某支股票會上漲，卻向另外半數提出忠告，說是會下跌。

什麼時候該堅持你所擁有？要檢視這個非常實際的問題，我們可以借助個案研究，並略微虚擬情節來簡化分析。本例中的吉姆是個理想對象，他三十九歲，決心在四十歲時訂婚。吉姆加入交友俱樂部，這樣他和可能對象的相逢過程，就可以部分排除機運成分。交友俱樂部保證每年替他安排十次約會，而我們也要在這裡加入一種相當不可能的狀況，那就是吉姆的約會對象全都急於成婚，只要他開口求婚就成。因此，他肯定將來那十位約會對象當中，有一位會成為他的太太，不過會是哪位呢？

把可能配偶依等第排列似乎有點無情，不幸卻有必要這樣做，才能進一步分析。（這裡也必須說明，男女都不反對就潛在伴侶做評比。）十位約會對象之一會成為最佳伴侶人選，也另有一位會是最差的選擇。不過，吉姆和她們見面的順序，卻是完全隨機。

吉姆和第一位對象約會，她看來也不錯。不過，她是最好的那位嗎？或許她是，不過，考慮到吉姆往後還會與其他對象約會，她成為最佳人選的機率只為十中取一。因此，合理的決策似乎就是先不要對她做出承諾，而是把她當作基準，並拿和後續約會對象做比較（這裡就不對吉姆的道德品行做任何評價）。

如果吉姆真的猶豫不定，他也可以依舊拒絕對接下來幾位做出承諾。一直到第十位約會對象現身，若吉姆還是要堅定原則如期訂婚，那時就沒有選擇餘地只好選擇第十位。因此他若不做決定，採取不表態策略，那麼他選中最佳人選的機會，還是只有十中取一。不過，肯定會有較佳策略。

的確是有！如果他要提高機會，有種做法就是先拒絕第一位約會對象――假定那凱瑟。不過，往後一碰到分數超過凱瑟的約會對象就點頭接受。只要採取這項對策，他在十次中有九次，能夠找到比凱瑟更好的配偶。但是，如果凱瑟恰好就是最佳對象，這項對策就不靈了。如果吉姆選定最先贏過凱瑟的約會對象，最後他選中最佳可能伴侶的機會，就會提高到百分之二十，或等於五中取一。這個比率的計算過程相當複雜，因為這必須把最佳人選出現的順序落於第二位，或第三位（第二位得分低於凱瑟），或第四位（第二和第三位得分都低於凱瑟）等等的機率累加起來，並一直加到第十位。如果吉姆除了凱瑟之外，還納入其他人選作為基準呢？他堅持時間愈長，就愈能通盤了解所有的可能對象。不過，這樣他把最佳伴侶排斥在外的機率就愈高。

事實上，吉姆面對上述情況時，便可以用數學來找出最佳答案。那就是先和三位人選約會，隨後一出現得分超過前述三位的人選就向她求婚。這樣一來，最後吉姆所擇定人選會是最佳伴侶的機會，就會提高到約為三中取一。你可以按照次頁的「知識補給站」所述，進行盲目約會的紙牌遊戲，模擬吉姆的經驗。儘管這種練習過度簡化，不盡然符合生活實情，至少還是個能夠描述許多人做法的好例子。他們會先約見幾位夥伴，來增長閱歷，之後才做出堅定承諾。

隨著伴侶潛在人選增加，數學解答就會愈來愈嚴謹，最後比率就會極為明確。如果有N位伴侶人選，你就應該先約見N除以「e」人，隨後才做出承諾。前述「e」值約等於2.718，這也指數增長現象的核心數值。如果N為大數，那麼根據上述，

你就應該在所有潛在伴侶之中，先約見大概百分之三十七的人選，隨後才安頓下來。

這種巧妙做法有許多瑕疵，當然了，其中之一就是你完全無法預知，將來你會和幾位伴侶人選約會。儘管如此，如果你估計自己這輩子，或許能夠見到四十位配偶人選，那麼當你認識其中十四位時，就該考慮安頓下來了

●本文摘自臉譜出版之《一條線有多長？》/ 羅勃．伊斯威（Rob Eastaway）、傑瑞米．溫德漢（Jeremy Wyndham）。

【作者簡介】
羅勃‧伊斯威 Rob Eastaway
對數學趣味面的嗜好源於猜謎，為《週日泰晤士報》（Sunday Times）和《新科學人》雜誌（New Scientist）設局提供謎題，定期在廣播節目中講述數學，並應邀為全英國各個年齡的聽眾演講，從曼徹斯特皇家交易戲院（Royal Exchange Theatre）到本東維爾監獄（Pentonville Prison）都看得到他的蹤跡。著有《為什麼公車一次來3班？從自然的奧妙原理到日常的不思議定律，探索生活中隱藏的81個數學謎題》、《幾隻襪子湊一雙？生活中超級有趣的12個數學謎題》、《爸爸，這題數學怎麼算？從生活中培養孩子的數學思考》等。


傑瑞米‧溫德漢 Jeremy Wyndham
獨立企業主管，擁有物理學博士學位，曾是國際橋牌賽青年組選手。至今他仍習慣閱讀《週日泰晤士報》和《新科學人》雜誌刊出的謎題，嘗試破解。著有《為什麼公車一次來3班？從自然的奧妙原理到日常的不思議定律，探索生活中隱藏的81個數學謎題》。