前言
O M G
我以為讀Lewis這種dense material已經夠痛苦了，樓下室內裝潢施工快把我吵出精神病來了。我還要不要期中考啊？
On Plurality of Worlds真的好可怕，我覺得自己前前後後讀了快一百次了我還是不知道他在講什麼。精神狀態不是很好，我也就不多說了。我們直接進入內容吧。
結構實體
結構性質
當我們將性質定義成instance through out the worlds，有時候有些性質必然地會共存。比方說「擁有三個邊」（trilateral）和「擁有三個角」（triangular）好了，這個性質的集合會包含的物件會是完全相同的三角形們。
但難道我們不想說「擁有三個邊」和「擁有三個角」是兩種不同的性質嗎？有時候想，有時候不想啦。這個狀況看起來我們不得不承認它們基本是同一個東西，畢竟集合成員相同。但我們又想要區分出兩者的區別——在不放棄用物件例現該性質的瞬間的時空切片的集合去定義性質的前提下。怎麼辦？
首先呢，我們要去說其中一個性質「trivially coextensive」——基本上就是承認它們根本就是同一個東西。有點像我們用兩個名字在叫同一個東西。B is trivially coextensive to A, 則有A也一定有B。比方說沒有結婚的男人和單身漢就是trivially coextensive的。一個人是沒有結婚的男人則那個人也是單身漢。
我們已經搞定了想要說它們相同時要怎麼做，現在我們要能夠區分出兩者的不同，我們要怎麼辦？我們需要「structured entities」。暫且我就稱呼為結構實體。
要做成一個結構性質，我們需要所謂的「higher-order relation」。這個higher-order relation，我們說T好了——
T連結著非結構的性質F和關係G，若且唯若，F is the property of being something bears the relation G to. 嗯，這個怎麼翻譯成中文都感覺會失去原意。或許可以說「性質F就作為一種具備關係G連結到某個別的性質的存在上」吧。
好，給定A是「擁有三個角」（triangular）的關係，S是「擁有三個邊」（trilateral）的關係。兩者都是非結構的關係。A本身就具備S，它們trivially coextensive。
現在我們要說A和S不是同一個東西，怎麼辦？這時候我們用higher-order relation T去說。A具備T to A，表示成<T, A>。A也具備S，所以也具備T to S，表示成<T, S>。所以在這個意義上，A和S不同。S沒有<T, A>，A沒有<T, S>。
一個結構性質（structured property）呢，和非結構性質一樣需要而且具有在其他世界的counterpart instances。
所以稍微總結一下：
- 當我們想說兩個性質一樣：A和S是trivially coextensive，A同時也具備S。
- 當我們想說兩個性質不同：A是<T, A>，S是<T, S>，<T, A>和<T, S>不一樣。
結構關係
我們也可以對關係的序對做一樣的區別：<T, <S1, S2>>, <T, <A1, A2>>這樣。
命題的結構
命題也會有需要用到結構的時候。如果命題對你來說是一種得要有quasi-symtactic structure才能夠談否定與對象-述詞命題的存在，這種情況我們無法用可能世界的集合來定義命題。我們需要更複雜的使用可能世界的集合論語言來處理。
- 否定命題：給定~P。N是一個非結構的關係，表達negation(否定)。這個關係的集合是所有P沒有被滿足的世界，連結著任何(非P的)命題與其否定形式。那麼可以給定結構<N, P>來表達。
- 雙重否定命題：相似，用<N, <N, P>>表達。但要注意的是，P和<N, <N, P>>是不同的，儘管它們有一樣的真假值和一樣世界的集合。
- 對象-述詞命題：這是不單單只是單純的命題P，而是引入述詞邏輯的概念，一個對象a具備性質P表達成：常元a與述詞Px組成Pa。怎麼表達？這樣：<A, P>。
自然性質
這邊我想先區別一下特定片語的意思。路易士很喜歡dance writing，講話很俏皮啦。所以這邊有一個片語我想要特別先在開頭解釋一下
- carved in the joints：指該性質反映出了事物本身具備的性質。非人為分類，也不是一些外在於該事物本身但為該事物具備的性質。就好像把大理石雕成一座雕像一樣，這個形體是來自這塊大理石本身。
- not carved in the joints：不反映出事物本身具備的性質。可能是人為分類，可能是外在於該事物本身的性質。就好像...在大理石上面貼貼紙還是塗鴉之類的。
abundant and sparse properties
在進入路易士想要談的主題之前，我們要先來區別出兩種性質。
Abundant Properties：可以被很多事物例現的性質。
特徵：
- 外在的（extrinsic）
- 選言的（disjunctive），比方說：是A或是B（A v B）
- 瑣碎的（trivial）
- not carved in the joints
- 這種性質可以有無限多（have infinite numbers of these properties）
- 擁有這種性質與兩事物相似或相同無關（sharing it has nothing to do with similarity）
舉例來說，我們給定一個x和一個y。此時他們分享了無限多相似之處與無限多不相似之處。x具備性質P1，y具備P2。x沒有P2，y沒有P1。此時他們無限相似也無限不相似。
對雙方而言無限相似的性質：
P1 v P2
P1 v P2 v P3
P1 v P2 v P3 v P4
.
.
.
φn
對雙方而言無限不相似的性質：
P1 v P3, P1 v P4...so on：這是只有x具備的性質。
或者
P2 v P3, P2 v P4...so on：這是只有y具備的性質。
Sparse Properties：只能被很少的事物例現的性質。
特徵：
- 內在的（intrinsic）
- 非常特定的（highly specific）
- carved in the joints
- 它們能夠被例現的instance因為自身特性而非常有限（their instances are limited in some ways by the very condition they have. ）
- 擁有這些性質確實和相似性與等同性有關（sharing them does make similarity of things）
自然性質
路易士認為，sparse properties就是natural property，就是自然性質。
同時呢，路易士也提到所有的sparse property都可以被化約成abundant property。我們就舉一個很神奇的例子——「U = x是獨角獸」。就以這個例子來說，U可以被化約成「x是馬」和「x的頭上有角」。當然這只是舉個例子啦。
這也意味著，所有的sparse properties都是abundant properties的真子集，並且sparse properties在abundant properties中算是非常非常少數。
自然性質的程度
路易士接受在自然性質上，我們應該承認其有程度之分。有完美的自然性質（perfectly natural）以及沒有那麼完美，可能有點連言（A v B），可能有點外在特性（extrinsic），但依然算是自然性質。
完美自然性質不提，最直覺能想到的不完美自然性質的例子就是把兩個完美的自然性質組裝在一起變成連言，比方說：是質子或是電子（is proton or is electron）。
或者說顏色好了。顏色有一些完美的自然性質在，它之所以是顏色依然取決於接收它的性質的個體的認知系統。是外在的。
老實說，路易士在這裡就是這麼含糊。我也給不了更好的答案。
relations
關係當然也能區分sparse和abundant。
- sparse relation：能被很少事物例現、carved in the joints、內在的、非常特定、與等同性與相似性有關。
- abundant relation：能被很多事物例現、not carved in the joints、外在的、瑣碎的、連言的、不與等同性或相似性有關。
- natural relation：就是sparse relation。
一樣sparse relation可以被化約成abundant relation。
同樣地有完美的自然關係（perfectly natural relation）和沒那麼完美但依然是自然關係的。可能有點外在，可能有點連言之類的。
命題與可能世界
- sparse proposition：在集合中的可能世界很少、carved in the joints、內在的、非常特定、與等同性與相似性有關。
- abundant proposition：在集合中的可能世界很多、not carved in the joints、外在的、瑣碎的、連言的、不與等同性或相似性有關。
- natural proposition：就是sparse proposition。
一樣sparse proposition可以被化約成abundant proposition。
同樣地有完美的自然命題（perfectly natural proposition）和沒那麼完美但依然是自然命題的。可能有點外在，可能有點連言之類的。
How？
他也沒講啊。他在這裡也是用類比的方式兩行帶過，該解釋的也不解釋。我也只能比照辦理，就也只能類比啦。
4/13回來看，我想是因為路易士把命題定義成「被整個世界例現的性質」，如同一般的性質我們蒐集物件，命題我們蒐集世界。只要用對待性質的方式對待命題就可以了。
內在與外在性質
為什麼要區別自然與非自然性質？
在systematic philosophy裡面，總是需要去做這個區分，不可能不做這個區分。有很多原因，他說他寫在"New Work for a Theory of Universals"和"Putnam's Paradox"這兩本書中。但在這本On Plurality of Worlds裡面，他只討論其中一種——能夠幫我們區別出內在性質與外在性質。
區分內在與外在性質的嘗試很多都失敗了，但他認為如果我們使用自然性質去做區別，是可行的。
內在與外在性質
- 自然性質 = 內在性質
- 非自然性質 = 外在性質
並非所有內在性質都是完美的自然性質，只要很簡單地把他們放到選言中它們就不完美了：being a tripartite or liquid or cubical。這之中的每一個原子性質都是完美的自然性質，但這個選言不是。
不過，完美的自然性質一定是內在性質。
duplicates
現在我們來考慮一下複製體（duplicate）吧？y算是x的複製體若且唯若：
- 他們擁有完全一模一樣的完美自然性質（they have exact same perfect natural properties.）
- 他們對應的部位或部件有完全一模一樣的完美自然性質（their parts can be put into correspondence in such a way that corresponding parts have exact the same perfect natural properties.）
這邊還有一段描述是說：
if we acknowledge some structural properties which connect things into a structural whole as perfectly natural properties, then the second may not be necessary.
但我看不懂，先不管。
我們可以更進一步地定義說：內在性質就是兩個複製體之間永遠不可能不一樣的性質。
內在與外在關係
關係性質作為性質當然也能區分內在和外在啊
- internal relation：給定對象X和Y，如果<X, Y>是internal relation，那麼這個關係隨附於X和Y本身各自具備的內在性質。比方說「X比Y高」好了，這就隨附於X和Y各自的身高。同樣地，如果<X, Y>是internal relation，那麼其複製體X2和Y2也得例現出<X2, Y2>。如果沒有，那其中一個複製體出了問題根本也不是複製體了。換句話說，X和X2，或者Y和Y2之間有內在性質上的不同。
- external relation：不隨附於X和Y本身各自具備的內在性質上的關係。書中的例子是氫原子。我們做出氫原子的質子和電子的複製體，它們的「時空距離」（spatiotemporal distance）不非得相同。也就是說，這顆質子和這顆電子不非得組成一個氫原子。甚至可能分別在兩個不同銀河系，一顆在我口袋，一顆在武仙座這樣。顯然質子和中子之間的時空距離不取決於其本身所具備的內在性質。但這是當我們取的是質子和電子的複製體，當然，如果我們取的是氫原子的複製體則其質子和電子的時空距離當然是維持不變的。external relation雖然不隨附於X和Y本身各自具備的內在性質，但當X和Y組裝在一起時這個關係可能就隨附上了。
如果你剛好沒有讀到我解釋隨附（supervene）是甚麼的文章的話：我說x隨附於y就是說，如果y沒有任何變化，x也不會有任何變化。
indiscernibility
路易士覺得複製體（duplicate）和indiscernibility...暫且稱呼為不可分辨性吧，是不一樣的。
- Y是X的複製體若且唯若：X和Y擁有完全相同的內在性質。
- X和Y是不可分辨的若且唯若：X和Y擁有完全相同的內在性質和外在性質。
X和Y是不可分辨的，並不意味著他們之間所有性質都相同。因為如果我們接受「x屬於集合A」這種性質—我們一定得接受，因為我們用集合來定義性質—的話，就一定會出現X屬於集合A但不屬於集合B，Y屬於集合B但不屬於集合A這種狀況。就是X屬於某個集合但Y不屬於的狀況。
他用永劫回歸（eternal recurrence）來舉例，就是說世界上發生的所有一切都會在世界結束並進入下一個循環後一而再再而三地發生。我們看例子：
- one-way eternal recurrence：有時間的起點，然後世界從開始到結束，第一次循環終。接著第二次、第三次......無限延續。此時，每一次循環的每一個x都是彼此的複製體。
- two-way eternal recurrence：沒有時間的起點也沒有終點，沒有第一次循環也沒有最後一次。循環n結束後不非得要開啟循環n+1，而是可以回到循環n-1。此時每一次循環的每一個x都是彼此不可分辨的。同時也互相是複製體啦。
即便如此，在two-way eternal recurrence中任意兩個循環中的x和x*依然不分享所有性質，因為還是有那麼個集合有x但沒有x*。
你可能看不懂這個永劫回歸的例子。我也看不懂。他不解釋，我也沒辦法。還是只有我看不懂你們都看懂了啊？留言告訴我哦。
結語
嗯，只是我覺得不能沒有這個環節才姑且加了進來，但其實我沒有什麼想說的。
其實呢，1.5這邊尾端還有大概五頁的內容是在談區別natural和gruesome這兩種性質，但牽涉到Armstrong和Williams的理論，和一大堆沒教過我也沒讀過的理論，我就不寫了。
那，差不多就是這樣，我要去睡了。
下次見哦。
