【部分整體學】上課筆記：Parts chapter 1（上）23/09/18訂正

前言

新系列。如標題所說，這個系列是關於部分整體學（Mereology）的。就是......有關整體的「部分」（parts）的學問。基本上就是形上學上關於「部分」的問題我們給它們邏輯上的、公理上的定義加以討論這樣。

內容來自Peter Simons於1987年出版的《Parts: A Study in Ontology》這本書，以及我的講義和筆記。

差不多這樣，那我們就開始吧？

關係

在開始正文以前，我原本在寫完集合論之後應該是要來寫一篇和「關係」（relations）與數學歸納法的應用的文章的，但我懶所以一直擱著。沒想到的是，部分整體學馬上就得用了，所以我還是得先在這裡簡單講一下。我還是會建議你至少讀過我的集合論上集的基本概念和下集的序對和笛卡兒積，甚至是我最早的一階邏輯文章之後再來看。

首先，關係。關係我們用序對表達，比方說<x, y>就表達了x對y的關係。注意，這個關係是單向的，是x單方面對y。假設<x, y>是朋友關係，那就是x單方面把y當成朋友，但y不這樣覺得。如果你要表達一個雙向的關係，你要再加進<y, x>。<x, y>, <y, x>就是一個雙向的關係了。

現在我們有兩組群體好了，表達成集合A和B，這兩組群體的成員之間互相有關係，這些關係我們會表達成集合R，固定都是R，並且R⊆A×B。大概就是這樣。

哦，然後同樣是R，除了可以當成集合的代號，也可以當成述詞邏輯符號表達關係，比方說<x, y>我就可以表達成Rxy；<y, x>表達成Ryx。你想用述詞符號還是序對表達都可以。

下面我們再來細說關係的種類：

一般的三類

1. 自反（reflexive）：Rxx，就是x和自己有關係就叫自反。邏輯式表達為：「∀xRxx」。
2. 對稱（symmatric）：<x, y>, <y, x>則對稱，也就是xy互有關係。邏輯式表達為：「∀x∀y（Rxy→Ryx）」。
3. 傳遞（transitive）：如果Rxy且Ryz，然後又Rxz，則傳遞。x和y有關係，y又和z有關係，而x又和z有關係這樣。邏輯式表達為：「∀x∀y∀z（（Rxy&Ryx）→Rxz）」。

這邊我們使用全稱量詞∀是因為它得滿足「集合裡所有的元素都要滿足這種關係」我們才這樣稱呼。

所以實際上應該長這樣：

只是舉個例子啦，不一定要長這樣，只要符合上述條件就算。其實對稱那張也滿足傳遞啦，如果你有發現的話。

反系列

就是上面的三種關係不成立的狀況。

我看過別的課別的教材翻譯叫「不XX」，反正翻譯不統一我們叫英文嘛。

1. 反自反（irreflexive）：就是說沒有任何對象是自己和自己有關係的。邏輯式表達為：「∀x~Rxx」。
2. 反對稱（asymmatric）：只有x單方面和y有關係的狀況成立，也就是只有<x, y>沒有<y, x>的狀況。邏輯式表達為：「∀x∀y（Rxy→~Ryx）」。
3. 反傳遞（intransitive）：基本上是任何不是傳遞的關係。邏輯式表達為：「~（∀x∀y∀z（（Rxy&Ryx）→Rxz）」。

非系列

就是有時候成立自反、對稱或傳遞，有時候不成立的狀況。我看過別的課別的教材翻譯叫「反XX」。

總之說是反系列的special case，它們不見得是不一樣的狀況，有時候可能一樣。

1. 非自反（non-reflexive）：不是自反也不是不自反的關係，就是一個反自反的關係。e.g. A={1, 2, 3}, R={<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>}，不是自反因為沒有<2, 2>和<3, 3>；不是不自反因為有<1, 1>。邏輯式表達為：「~∀xRxx」。
2. 非對稱（anti-symmatric／non-symmatric）：所有成員都滿足<x, y>且<y, x>，也就是滿足對稱，但是x=y。呃......基本上就是說沒有兩個截然不同的對象之間存在<x, y>且<y, x>的狀況啦。邏輯式表達為：「∀x∀y（Rxy&Ryx）→x=y」。
3. 非傳遞（non-transitive）：既不是傳遞也不是不傳遞的關係。和反自反很像，有些對象滿足Rxy, Ryz, Rxz，但並非集合裡所有成員都滿足這樣的關係。我姑且還是舉了個例子畫了張圖：

序

1. 預序（Preorder）：自反且傳遞。
2. 偏序（Partial Order）：是預序，且非對稱。
3. 線性序（Linear Order）：是偏序，同時也連貫（connected，指若x不等於y，則Rxy或Ryx成立）。
4. 嚴格偏序（strict partial order）：反自反、反對稱、傳遞。
5. 嚴格線性序（Strict Linear Order）：是嚴格偏序，並且連貫。

部分整體學基本概念

最最最基本的概念，我們在這邊講part我們(暫且)討論的是具體的事物，所以說像是命題啦、集合啦、形上學性質啦，我們暫且不論。

proper part

Simons在書中提到proper part是他用來定義parthood relation的概念基模，也就是整個parts的概念他都是用proper parts的概念建構出來的。當然你也可以不要啦，你可以用之後會提到的overlap當概念基模，但反正Simons是用proper parts。

proper part呢，基本上就是說x是y的一部份，比方說我的手是我的一部份，或者你的頭你的眼睛是你的一部份之類的。我們會把這種proper parts的關係表達成：

「x<<y」

或者

「PPxy」

然後呢，proper part是一種嚴格偏序（Strict Partial Order）的關係，我們來看看它是怎麼滿足的：

1. 反自反：Nothing is a part of itself.（沒有任何東西可以自己是自己的一部份）就是說只有"自己的某部分"可以是自己的部分，我覺得這個用集合會好懂很多，集合A不可以是集合A自己的一部份，但集合A的元素或真子集可以。我不是真的在表達set theory的parthood relationship，我只是用類比的方式舉個例子。
2. 反對稱：If x is a proper part of y, then y is not a proper part of x.（如果PPxy，那麼PPyx不可以成立）比方說磚頭是房子的一部份，但這整棟房子不是這一顆磚頭的一部份。
3. 傳遞：If x is a proper part of y, and y is a proper part of z, then x is a proper part of z.（如果PPxy，而又PPyz，那當然PPxy）比方說我的手指是我的手的一部份，我的手是我的一部份，我的手指當然也是我的一部份。

大家可以想想看，是不是很合理呢？反正我們就是給"parts"一個邏輯上的公理的定義就是了。

part

前面講了proper parts在邏輯上的定義，那這個parts又是什麼情況？基本上就是小於和小於等於的差別。proper part是小於，part是小於等於。如果你堅持，part的定義是「part-of-or-identical」。

那part要怎麼表達呢？就這樣表達：

「x<y」

這不是小於哦，是"part of"，不要搞錯了。

你也可以表達成：

「Pxy」

哦，如果x<y且x=y，我們說x是y的improper part。一個很瑣碎的事實是，若xy等同，則他們有一模一樣的parts。

比較沒有那麼瑣碎的事情是，這牽涉到存有學（Ontology）上的萊布尼茲定律（Leibniz's Law）：「同一者不可分性原理」（Indiscernibility of Identity）和「不可分者同一性原理」（Identity of Indiscernibles）。前者是說「∀x∀y∀F（x=y→（Fx←→Fy））」，表達「兩個等同的事物之間具有不可分辨性有著完全相同的性質」；後者是說「∀x∀y∀F（（Fx←→Fy）→x=y）」，表達「如果兩個事物擁有完全相同的性質則兩者等同」。

大家覺得哪個有道理呢？這兩個宣稱可不一樣哦！不過這不在這裡的討論範圍。

Parthood是一種預序（Preorder），由於課本上沒寫，上課有講但沒解釋，所以我來藍色窗簾一下：

1. 自反：對應我們說自己可以是自己的part。
2. 非對稱：非對稱我們說若Pxy且Pyx則x=y，經典的例子就是小於等於嘛。如果x小於等於y，以及y小於等於x同時成立，則x=y。呃...我好像有點掰不下去了，但對啊，如果x是y的part，反過來也成立的話，那x=y嘛。我們都從一開始就把parthood類比成小於等於了，教科書上也是這樣寫的（有寫到類比成小於等於，沒寫到為什麼非對稱），就......就接受好吧，我也不知道要解釋什麼。
3. 傳遞：這應該沒毛病，同proper part，如果x是y的part，y又是z的part，沒意外x也是z的part。

overlap

就是重疊（overlap）。所謂重疊，if and only if，就是它們有共同的part。邏輯式表達為：「∃z（Pzx&Pzy）」——很直白吧？就是說存在某個z，這個z既是x的一部份，也是y的一部份。

好啦，overlap要怎麼表達？你可以表達成：

「x。y」

或者

「Oxy」

接下來，overlap有三大特徵：

1. 自反：自己可以overlap自己（include the case of identity）。
2. 對稱：如果x和y重疊，y當然也和x重疊。
3. 非傳遞：如果x和y重疊，y和z重疊，x多半不和z重疊。

關於overlap反傳遞的特徵大概是這種感覺：

另外，很重要很重要很重要，那就是「overlap的兩個實體之間並不是 (proper or improper) part的關係」。在某個點相交的兩條路，x和y之間有overlap，但並不是x路不是y路的一部份，反之亦然。兩個國家，A和B之間可能有重疊的領土，但我們不會說A國是B國的一部份，反之亦然。

這邊有一個比較瑣碎比較少用的概念叫做proper overlap，說是x和y重疊，但x不是y的part，反之亦然。

通常事物與事物之間都會有一個「中斷」作為分界，以此區分它們不是同一個東西，比方說我和我腳下的建築物沒有連在一起，我們不是同一個物件。但是overlap的情況就比較複雜了，這個「中斷」並不存在。到底這是一個東西，還是兩個東西overlap，這就很考驗智慧了。

binary product

product是一個和overlap密切相關的概念。product指的就是重疊的兩個對象，x和y之間重疊的那一塊，那個z。你可以想像成是集合論的交集（intersection），不一樣的是我們不算空集合。在集合論中，任何兩個集合之間再怎麼樣都會有空集合作為其交集。但overlap我們不算。x和y發生overlap，重疊的那塊不包含空部件。

product我們表達成：

「x．y」

其中書上有一段寫說：「Having defined binary products, it is clear that finite products of any number of places may be defined, since the product is obviously commutative and associative. For arbitrary products, however, a stronger operation is required.」

我的理解是：你可以有x．y．z，你也可以有x1．x2．y1．y2．z1．z2，想接幾個就接幾個——如果它們真的有這樣overlap產生這麼多product的話啦。但這個式子不能有無限個對象和算子，要維持在有限的範圍這樣。反正你不用擔心它的長度，你就如實表達它們的overlap狀況就好。

然後說是product算子符合交換律和結合律，所以「x．y」和「y．x」沒差（交換律），「(x．y)．z」和「x．(y．z)」也沒差（結合律）這樣。

至於最後一段的arbitrary products......我不知道那是什麼。反正這個章節也沒要深入討論我就不管了。

disjoint

disjoint就是overlap的反面，兩個事物之間沒有重疊就是disjoint。或者更精確來說，x和y之間沒有共同的part，沒有那個z，x和y便就是disjoint的。

disjoint表達成：

「x∫y」或「Dxy」

disjoint的特性：

1. 對稱：如果我disjoint你，你肯定也disjoint我。

underlap

underlap哦...基本上就是顛倒過來的overlap。underlap是說有一個z存在，然後x和y是它的part。基本上邏輯式也是顛倒的：「∃z（Pxz&Pyz）」。

我們表達成：「Uxy」。

我是不知道你，反正我這裡是看矇了。總之我在網路上找了圖片：

那個Equality基本上就是improper part。如果你忘記了，improper part就是......不是proper part的part。但反正重點是那個underlap啦。

binary sum（fusion）

基本上就是融合，把x和y融合在一起。sum或fusion有一個特徵，那就是如果任何東西overlap了xy的fusion，那麼這個東西一定overlap了x或y。合理？非常合理。

講義上希望我們做個練習，用一階邏輯形式化fusion，所以我就來試試看：「∀z（Ozf→（Ozx v Ozy））」（對於所有的z而言，如果z和xy的fusion重疊，那麼要馬z與x的part重疊，不然就是z與y的part重疊）。

（更新：答案是「∀w（Owz→（Owx v Owy））」。猜對了。）

sum或fusion我們表達成這樣：

「x+y」

是不是很直白呢？

如同product，sum的算子可以用來定義任意有限個對象。

sum大概是這種感覺：

因為課堂上有提到，不講也白不講，但其實我沒聽清楚問了旁邊的人姑且寫了筆記但不確定內容正不正確讓我有點猶豫要不要講，但總之我還是來講一下為什麼定義成∃z(Pxz&Pyz)或者∃z(Pxz v Pyz)不行。

與其說不對吧，就是少了點什麼東西。少了上色的那塊。可能會有情況是不只有x和y，但∃z(Pxz&Pyz)和∃z(Pxz v Pyz)都沒辦法表達。

general sum and product

老實說這段我看不太懂。說是不能保證任何一組物件都有sum，也不能保證任何一組物件都有product，因為這一組物件可能有無限個。呃......他沒有明確講，但反過來說你的這組indivitual如果有無限個是不能有sum或overlap之後有product的是吧？

總之為了解決這種情況，有類似quantifier的東西去限定這一組物件。

1. general sum：表達成「σxFx」，意思是「所有滿足描述F的x通通融合在一起變成一個sum就是σxFx」（the sum of all object satisfying a certain predicate F）。
2. general product：表達成「πxFx」，意思是「所有滿足描述F的x，如果它們之間有overlap，那麼其product就是πxFx」。當然，如果並不是「所有」符合條件的對象都有overlap，那這個general product就不存在。原文是說：Of course this product will only exist if all the objects satisfying the predicate have a common part.

這我也不知道能講什麼，我其實不太懂。反正他就是想處理arbitrary sum和product之類的。

difference

說是x和y沒有任何共同的part的the largest individual contained in x，我們就說z是x和y的mereological difference。

呃......基本上就是沒有和y共享任何part的，剩下來的最完整的x。

上圖的z，也就是上色的部分就是x和y的difference。

表達成：

「x-y」

書上補了兩段廢話：1.difference只有在x不是y的part的時候才會成立，另一個廢話是2.如果xy有overlap且不是proper overlap，即實際上x是y的part，那麼x是y的proper part。

universe

一個universe就是所有物件的sum，就是你手上有n個物件好了，全部融合起來的那個sum就是universe。如果你手上沒有任何物件怎麼辦？那universe就不會存在哦。

通常標示成U或是特殊字體的U，我就不把它找出來了。

邏輯定義成：「∀y(Pyx)」。

complement

我有一個universe，我在其中抓出任何一個部分，任何一個x，剩下來的那些部分就是x的complement，表達成'x'。看起來就像是......一個大型的difference，書上也說「U-x寫成'x'」，x與U不等同。

然後補了一句在一些比較弱版本的部分整體學裡面不總是有complment這樣。

atom

一個atom就是一個最simple的東西，就是說如果一個東西是atom，這個東西沒有任何part。一個atom是無法再被分割的，也沒有任何事物組成它，它就是最基礎的。

邏輯定義成：「~∃w(PPwx)」。