各位好，歡迎回到伍德的十分鐘個體經濟學專欄。上一期中我們聊到當市場有超過兩種商品時，可以用連結同效用組合的「無異曲線」(Indifference Curve)來分析消費者的效用。這種概念就像地圖上的等高線；氣象觀測的等壓線和等溫線一樣，可以藉由追蹤它們來分析消費者的效用會如何隨商品而變化。
我們還提到另一個重要的觀念：邊際替代率(Marginal Rate of Substitution；MRS)，它同時也是商品邊際效用的比值。這個比值在圖上便是無異曲線的斜率(絕對值)，代表消費者在該點願意拿幾單位商品二x2交換一單位的商品一x1。
今天我們來聊聊經濟學上最常使用的幾個效用函數的例子，並看看它們代表商品間有什麼關係。線性效用 (Linear Utility)
線性效用，顧名思義效用是商品的線性函數。U(x1,x2)=ax1+bx2。其中a和b為大於0的常數，代表有越多商品消費者越開心。下圖我們畫出U(x1,x2)=0.6x1+x2。
線性效用；箭頭代表效用往右上方增加
我們先前提及邊際替代率MRS=MU1/MU2，而在線性效用下，這個值很好求。因為MU1=a、MU2=b，MRS=a/b，為和商品數量無關的定值。不管現在所持商品為何，消費者都想用a/b個x2交換1個x1，比值是固定的。以上述的U(x1,x2)=0.6x1+x2例子而言，MRS=0.6/1=0.6。
什麼樣的商品間可能是線性效用呢？通常是可以完全替代的商品，例如x1是600毫升(0.6公升)的礦泉水，x2則是1公升的礦泉水。相信對大部分的人來說兩者是可以完全替代的，畢竟都是礦泉水。而MRS的0.6就代表消費者願意用0.6瓶x2(600毫升礦泉水)去換一瓶x1(同樣是600毫升礦泉水)。
像這樣的例子，我們稱x1和x2是替代品(Subsitute)，其中一個漲價會讓消費者選擇去買另一個，使其消費量增加。例如可__可樂和百__可樂；汽水七__和雪__。
列昂季耶夫效用(Leontief Utility)
相較於線性效用中的替代品，接下來我們要看的列昂季耶夫效用是另一個極端。列昂季耶夫(Wassily Leontief；1905-1999)是蘇聯裔美籍的經濟學家，於1973年獲得諾貝爾經濟學獎。他所提出的效用函數形式為：U(x1,x2)=min{x1/a,x2/b}，其中a和b同樣是大於0的常數。以下我們畫出U(x1,x2)=min{x1,x2}的無異曲線。
Leontief效用，虛線為所有L型頂點的連線。效用同樣往右上方增加。
列昂季耶夫效用代表a個x1非得和b個x2一起用不可，再多沒用，消費者也不會開心。左腳鞋和右腳鞋(對大多數人)是最標準的例子。一隻左腳鞋非得配一隻右腳鞋，如果左腳鞋只有1隻、即便有100隻右腳鞋也沒用。另一個例子是腳踏車的車框和輪子。一個車框就非得配2個輪子，不論何者再多也沒用。
由於最小值函數(min)沒辦法微分，邊際替代率對列昂季耶夫效用是個無用的概念。所幸因為它的形式簡單，一般分析可以直接靠圖示理解。值得注意的是，將L型無異曲線的頂點連接起來，這個路徑正是在列昂季耶夫效用下有效率的購物清單。往下、往右的話x1太多，反之則有太多x2，都不能提升消費者效用。
像這樣非得a個x1和b個x2一起用的消費組合被稱為互補品(Complement)。其中一個漲價會讓另一者的消費跟著下跌。除了先前提到的左右腳鞋的例子，例如自動鉛筆本體及筆芯、枕頭和枕頭套都是類似的例子。
在日常生活中，商品間的關係不見得到替代品或互補品那麼極端，可能在兩者之間，或甚至沒什麼關聯。與此同時，對某消費者是替代關係的商品也可能對其他人是互補。舉例來說，茶和咖啡都是飲料，對一般人來說可能是替代品，但對餐廳、飯店等需要大量接客的地方，或許替代性就沒那麼強、甚至可能變成互補品。
柯布-道格拉斯效用(Cobb-Douglas Utility)
西元1927年，經濟學家保羅‧道格拉斯(Paul Douglas；1892-1976)為了分析國家總產出、資本及勞力投入的關係，向同事查爾斯‧柯布(Charles Cobb；1875-1949)求教。而柯布提議使用其他經濟學家菲利浦‧維克史蒂(Philips Wicksteed；1844-1927)、萊昂‧瓦爾拉斯(Léon Walras；1834-1910)使用過的函數來分析*1。形式為：
U(x1,x2)=Ax1ax2(1-a)。
其中A為常數，在消費者問題中不重要。而a則是x1對效用的彈性(Elasticity)*3。透過微積分，我們可以算出MU1=aAx1(a-1)x2(1-a)，而MU2=(1-a)Ax1ax2-a。而邊際替代率MRS則是：
MRS=MU1/MU2=ax2/(1-a)x1。
在a=0.5下，Cobb-Douglas效用函數的無異曲線長成下列形式。
Cobb-Douglas函數(a=0.5)，效用往右上方增加。
Cobb-Douglas函數可以看做是線性效用和Leontief效用兩個極端下的中間情形。在第四章我們分析消費者問題時會看到更多Cobb-Douglas效用函數的好處和性質，現階段我們就當它是相對好分析、又不會太無聊的效用函數的例子。
接下來呢？
今天我們看了三個很常用的效用函數例子：代表替代品的線性效用函數、代表互補品的Leontief函數，以及另一個能使用微積分分析的Cobb-Douglas效用函數。我們用它們來描述消費者的效用，或單純消費者有「多想要」商品。效用和價格是無關的，就算今天市面上商品漲價，對於消費者需不需要、想不想要是沒有影響的。
在第三章中我們討論消費者問題的另一個層面：消費者「能不能」買商品。消費者是有預算限制的，當價格變動，影響的是消費者能買的商品(以前買得起、現在可能買不起；反之亦然)。我們在下次的第三章所得限制(Budget Constraint)討論如何將消費者的預算表示在圖上。
那麼今天就聊到這裡。我是伍德，我們下一次十分鐘個體經濟學專欄見！
*1. 也因此，Cobb-Douglas函數一開始是從生產面問題出來的，我們等談到廠商的問題再提。
*2. 有的課本或作者定義Cobb-Douglas效用函數為U(x1,x2)=Ax1ax2b，並未強迫a+b=1。
3. 彈性定義為(∂U/∂x1)*(U/x1)，或是(∂ln(U)/∂ln(x1))，其中ln(.)為自然對數。讀者可以驗證這個值在Cobb-Douglas函數為a。簡而言之，增加1%的x1，效用會增加a%。我們在第四章會再專門談彈性是什麼。
