大學微積分題解-極座標中的雙重積分

前導

若改用極座標來劃分區域，那意思就是邊界固定在常數 r 和 θ 上的區域。

如何計算極矩形的面積

令 r_k 為該區塊內圓弧與外圓弧半徑的平均值，則該區塊的面積為:

所以說，該區塊面積為:

那總和加起來後，我們對極座標下的雙重積分公式做結論:

範例講解1

我們以下圖中的區域 R 為例，說明計算過程:

• 繪圖（Sketch）
  畫出該區域並標註其邊界曲線。
• 找出 r 的積分範圍
  想像一條從原點出發、方向固定的射線 L，沿著半徑方向掃描區域 R。
  找出這條射線進入和離開區域 R 的兩個 r 值，這就是該方向下的 r 積分上下限。

• 找出 θ 的積分範圍
  找出能包住區域 R 的最小與最大角度，也就是最小與最大 θ 值。
  這些就是極座標中角度方向的積分上下限。

最終的極座標積分式為:

極座標下的面積公式

和前一章節相似:

若 f(r,θ) = 1，即函數為常數 1，則雙重積分:

即為區域 R 的面積。

範例講解2

求由雙葉玫瑰線:

所圍成的區域面積。

我們先畫出該曲線圖形 (見下圖），觀察其對稱性。可知整體區域有四個對稱葉片，因此只需求出第一象限的面積再乘以 4 即可。

所以面積算式為:

首先，先對 r 積分:

再對 θ 積分:

得出結論，該雙葉玫瑰線所圍成的面積為 4。

將直角坐標積分轉換為極座標積分

將雙重積分:

轉換成極座標積分，需要兩個步驟:

• 將 x = r cos⁡θ、y = r sin⁡θ 帶入函數 f(x, y) 中。
• 把 dx dy 替換成 r dr dθ。

所以說:

即根據區域 R 的形狀轉換出極座標下的新區域 G 的積分範圍。

範例講解3

計算以下積分:

其中 R 是由 x-軸與曲線 y = 根號(1−x²)​ 所圍成的半圓區域。

原本難以積分，但極座標讓這變得可行:

帶入極座標變數:

區域 R 對應到極座標的範圍是:

• r ∈ [0,1]
• θ ∈ [0,π]

所以積分變為:

令 u = r²，du = 2r dr:

原本在直角坐標系難以處理的積分，透過極座標變數代換可成功解出: