【理工科碩博士都懂:妳看到的不等式,都是這三個不等式之一】

更新於 發佈於 閱讀時間約 3 分鐘

讀理工久了,你會發現——

每個讓你頭痛的數學推導,幾乎都逃不過這三種不等式。

看懂不等式結構,你才能快速判斷哪裡是關鍵、哪裡能用技巧帶過。

▋1. Triangle Inequality|所有分析的基礎,不懂就很容易卡死在證明裡

形式長這樣:

|a + b| \leq |a| + |b|

你在證明收斂、極限、逼近、解空間穩定性時,一定遇過這一條。

幾乎所有 norm space、inner product space 的估計,

都離不開「拆項 → 上界 → 合併」這個套路。

用它的關鍵不是「硬記」,

而是認出你現在看到的式子是「sum of terms 的上界」,

這時候,triangle inequality 幾乎都能派上用場。

▋2. Cauchy-Schwarz Inequality|你想不到怎麼縮時空的時候,就來這一招

形式長這樣:

|\langle a, b \rangle| \leq \|a\| \cdot \|b\|

在線性代數、機率、訊號處理、最小平方估計裡超常見。

尤其當你想「壓縮中間那個內積項」,讓式子只剩 norm,

或你懷疑哪個 term 寫得太難太醜太不易計算時,

這就是打開 bottleneck 的神招。

理工科學生從大三開始,

沒人能逃過它的魔掌。

但只有會「自動辨識用它」的人,才能寫出漂亮的 bound。

▋3. Jensen’s Inequality|你越往高年級走,它越像一個祕密的語言

形式長這樣(期望版):

\phi(\mathbb{E}[X]) \leq \mathbb{E}[\phi(X)]

\quad \text{if } \phi \text{ is convex}

這條不等式幾乎貫穿資訊理論、統計學、機器學習裡的所有「期望優化」問題。

從 KL divergence 的下界推導,到變分推理裡的 Evidence Lower Bound(ELBO),

每次只要你看到有人對凸函數套了期望,

不用懷疑,就是在偷用 Jensen。

這條不等式厲害之處在於:

它不是給你「數值」估計,

它是給你「概念上的策略」——

要從哪裡切入這個隨機量的結構。

如果你現在還會被式子嚇到,不要擔心,

因為這三條 inequality,才是你該先熟到爛熟的工具。

剩下的複雜式子,不過就是它們的延伸或變形罷了。

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