📘 《AI 時代系列（6）：進階通訊工程——邁向2035年太空星鏈網路時代》
7/150 第一週：📌 🌐 破解通訊世界的語言：AI × 通訊的數學底層
7. 隨機過程基本概念 🔄 訊號隨時間變化________________________________________
🎯 單元導讀
隨機變數只能描述「某一瞬間」的不確定性，但通訊世界是一直變動的：通道在變、UE 在移動、Doppler 造成頻偏、多路徑持續改變。這些會隨時間演化的隨機現象，統一被稱為「隨機過程」，也是通訊工程的真正核心：訊號與通道永遠不會靜止，只會不斷變動。
隨機過程讓你能回答以下關鍵問題：
• 通道 h(t) 隨時間如何變動？
👉 因多重路徑、反射物移動與 Doppler 造成相位、幅度不斷變化。
• 為什麼 UE 在移動時 SINR 不穩定？
👉 移動造成 Doppler + 快衰落，使瞬時通道增益 h(t) 大幅擺動。
• 為什麼 OFDM 會因為 Doppler 而失去正交性？
👉 Doppler 造成頻率偏移，使子載波內積不再等於 0，破壞正交性。
• 為什麼 fading 會讓 BER 在同一位置變化很大？
👉 因 Rayleigh/Rician 的多重路徑干涉讓接收功率瞬間深谷與高峰交替。
• 為什麼 channel estimation 只能維持一段時間？
👉 因 h(t) 會隨時間飄動，超過 coherence time 後估測結果就失效。
📌 一句話：理解隨機過程，就理解了“真實世界”的通訊。
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🧠 一、什麼是隨機過程？
如果 X 是隨機變數，
那麼：
X(t)
就是「隨時間變化的隨機變數」，稱為隨機過程。
時間 t=0 隨機
時間 t=1 隨機
時間 t=2 隨機
...
在通訊中最常見的隨機過程：
✔ 多路徑衰落 h(t)
✔ 雜訊 n(t)
✔ OFDM 子載波上的 channel response
✔ MIMO 的 channel vector h(t)
它們都會隨著時間不斷變化。
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🧠 二、恆定系數 vs 時變通道
✔ 恆定通道（Slow Fading / Static Channel）
短時間內不變：
h(t)≈h0h(t)
用於：
• 靜止 UE
• 低速行走
• 室內場景
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✔ 時變通道（Fast Fading / Time-Varying Channel）
h(t+Δt)≠h(t)
典型例子：
• 高鐵（300 km/h）
• 捷運
• 車輛高速移動
• 多反射物環境
這是 隨機過程在通訊中最重要的應用。
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🧠 三、隨機過程的核心統計量
理解隨機過程，需要這三個量：
① 均值函數（Mean Function）
mX(t)=E[X(t)]
例如：
AWGN 的均值永遠是 0。
② 自相關函數（Autocorrelation）
RX(τ)=E[X(t)X(t+τ)]
📌 這是通訊工程最重要的隨機過程公式之一！
理由：
• 描述通道「記憶性」
• 決定 OFDM 是否失去正交性
• 影響 channel estimation 的有效期限
• 決定 Doppler spread
若 R(τ) 掉得很快 → 通道變化快 → 要更常做 channel estimation。
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③ 功率譜密度（PSD）
Sₓ(f) = 𝓕{Rₓ(τ)}
（傅立葉轉換來的）
這條式子 說的是：
「訊號在頻率上的能量分布，其實就是自相關函數的傅立葉轉換。」
自相關 Rₓ(τ) 描述訊號在不同時間位移下的相似程度；
而把它做傅立葉轉換後，就得到功率頻譜密度 Sₓ(f)，也就是訊號能量在各頻率的分布情況。
PSD 代表：
• 訊號能量如何分布在頻率
• 通道每個頻率的增益
在通訊中代表 Doppler spectrum。
最知名的：
👉 Jakes Doppler Spectrum
用來描述移動用戶的 fading 行為。
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🧠 四、通訊中最重要的隨機過程：衰落通道 h(t)
Rayleigh fading channel 就是一個隨機過程：
h(t) = Σ aᵢ · e^(j(2π f_D,i t + φᵢ))
這個公式 描述的是「真實無線通道會隨時間變動的原因」。每一條多路徑都有自己的強度 aᵢ、初始相位 φᵢ，以及因為 UE 移動而產生的 Doppler 頻移 f_D,i；這些路徑在複數平面上像是一堆會旋轉的向量，時間愈長，旋轉得愈快。所有路徑相加後，就形成我們在 5G/6G 中看到的 Rayleigh / Rician 快衰落。簡單說：通道不是固定的，它是許多會隨時間旋轉的複向量疊加而成。
特色：
• 幅度＆相位隨時間變化
• Doppler shift 決定變化速度
• 有自相關性
• MIMO 中每個天線都有自己的 h_i(t)
📌 若 UE 高速移動，h(t) 變化會非常快。
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🧠 五、OFDM 最怕隨機過程：ICI（子載波間干擾）
OFDM 子載波正交的條件：
∫ e^{j·2π·(f_k − f_m)·t} dt = 0
在一個符號時間內，兩個子載波的複指數積分必須等於 0。
當兩個子載波的頻率差滿足：
(f_k − f_m) = n · Δf（n 為整數）
這個積分就會是 0，表示兩個子載波的能量在整個符號期間完全不重疊，
因此保持正交，不會互相干擾。
⚠ 後果：一旦不正交…
• 會產生 子載波間干擾（ICI, Inter-Carrier Interference）
• 導致 BER 急劇上升
這些問題都是典型的 隨機過程（通道變化、Doppler shift）造成的災難。
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💻 六、ASCII 圖示：隨機過程示意
h(t):
amplitude
| /\ /\
| /\ / \ / \ 隨機上下震動
| / \ / \ / \
+--------------------------> time
第一張（h(t)）
通道係數 h(t) 會像海浪一樣上下震動，代表多路徑疊加 + Doppler 造成的隨時間變動。振幅忽大忽小，就是典型的 Rayleigh / Rician Fading——UE 移動、反射面變化、相位不同，都會造成通道快速起伏。
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自相關 R(τ):
^
1 |\
| \
| \______
+------------------> τ
τ 越大，相關越弱
第二張（R(τ) 自相關）
自相關 R(τ) 一開始很大（τ = 0 時完全相關），但 τ 愈大，通道愈「不記得過去」，相關性就下降。這反映出：通道短時間內還算穩定，但時間一拉長就「失去記憶」。
👉
這組 ASCII 圖在說兩件很核心的通訊工程事實：h(t) 隨時間亂跳，R(τ) 則告訴你它會「跳到什麼程度」以及「多久就失去相關」。通道的時間穩定度，就是看 R(τ) 的下降速度。
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🧩 七、模擬題
**1️⃣ 專業題
請解釋何謂「自相關函數」，並說明它在時變通道中的物理意義。**
🧠 答案：
自相關函數 R(τ) 描述 通道 h(t) 在不同時間點的相似程度。
R(τ) 大 → 通道在 τ 時間內仍然穩定；R(τ) 快速下降 → 通道變化快、記憶力弱。
在時變通道中，它代表 fading 的變動速度，也反映 UE 移動與 Doppler 效應強弱。
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**2️⃣ 應用題
若 UE 高速移動導致 Doppler spread 增大，對 OFDM 子載波會有什麼影響？**
📡 答案：
Doppler spread 增大 ⇒ 頻率偏移增加。
OFDM 子載波之間的正交性被破壞（內積不再是 0）。
造成 ICI（子載波互相干擾），使 BER 顯著上升。
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**3️⃣ 情境題
某地區 UE 回報「速度忽快忽慢，但訊號強度（RSRP）穩定」，請問可能是哪種隨機過程效應造成？
A. 雜訊變大
B. 通道快速變動
C. 路徑損耗增加
D. 變成 Rayleigh 分布**
📶 答案: B. 通道快速變動
原因：
RSRP 穩定 → 大尺度路徑損耗沒有變（環境距離沒有快速改變）
速度感忽快忽慢 → 反映相位與多路徑相消相長快速變化
這種短時間的小尺度通道波動，就是 Fast Fading / Rayleigh Fading 的特徵
與 Doppler 相關，是「時間選擇性通道」（Time-selective channel）
RSRP 穩定 = 大尺度不變；速度感忽快忽慢 = 小尺度快速 fading（通道快速變動）。
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🛠 八、實務演練題
1️⃣ 生成 Rayleigh 時變通道
• 設定多個多路徑
• 加入 Doppler shift
• 觀察 h(t)
• 分析振幅＆相位變動速度
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2️⃣ 計算自相關函數 R(τ)
• 取 h(t) 與 h(t+τ) 的乘積
• 對多組 sample 取平均
• 與理論模型比較（Jakes）
• 分析通道 coherence time
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3️⃣ 時變通道下的 OFDM 模擬
• 建立 OFDM 系統
• 加入時變 h(t)
• 計算 BER
• 比較不同速度（30 / 120 / 300 km/h）的 ICI 程度
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✅ 九、小結與啟示
✔ 隨機過程描述「隨時間變化的隨機現象」
✔ 通道 h(t)、雜訊 n(t) 都是隨機過程
✔ 自相關函數是判斷通道變動速度的關鍵
✔ Doppler effect 決定 OFDM 穩定性
✔ MIMO、OFDM、Channel Estimation 全都依賴隨機過程模型
👉 一句話總結：隨機過程是所有行動通訊系統「活著」的靈魂。
