📘 《AI 時代系列（6）：進階通訊工程——邁向2035年太空星鏈網路時代》
5/100 第一週：📌 🌐 破解通訊世界的語言：AI × 通訊的數學底層
5. 隨機向量與聯合分布 🧩 MIMO 的統計核心
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MIMO（Multiple Input Multiple Output）是現代通訊的靈魂。
無論是 4G LTE、5G NR，甚至未來的 6G Cell-Free Massive MIMO，都需要用 隨機向量（Random Vector） 與 聯合機率分布（Joint Distribution） 來描述訊號與通道的統計行為。
若你要懂：
👉 MIMO 通道矩陣的本質？
它就是把多天線之間的所有路徑增益與相位以矩陣形式一次記錄下來的「空間版通道」。
👉 為何天線越多越穩定（channel hardening）？
因為天線數變大時，多重獨立路徑會互相平均，使通道變得不再抖動、趨近確定值。
👉 為何 precoding 與 beamforming 需要協方差矩陣？
因為協方差矩陣能描述通道能量在空間上的相關性與方向性，是最佳方向性分配的數學基礎。
👉 為何 MIMO 容量使用特徵值分布？
因為特徵值代表通道矩陣能分解出的獨立空間子通道數量與強度，容量正是它們的和。
那麼這個單元就是你的根基。
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🎯 單元導讀
單根天線（SISO）只需描述一個隨機變數：
y=hx+n
但 MIMO 通訊是多天線一起工作：
y=Hx+n
其中：
• 𝑯 是通道矩陣
• 𝒙、𝒚、𝒏 都是向量
• 每一個元素都是隨機變數
• 通常還會「相關」！
因此我們需要：
👉 隨機向量
👉 聯合分布
👉 協方差矩陣
👉 多變量高斯分布（Multivariate Gaussian）
📌 一句話：沒有隨機向量，你就無法理解 MIMO。
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🧠 一、隨機向量（Random Vector）
隨機向量是由多個隨機變數組成的向量：
X=[X1X2⋮Xn]
在 MIMO 裡：
• 接收向量：
y=[y1,y2,…,yM]^T
雜訊向量（通常為多變量高斯）：
n ~ N(0, σ²·I)
• 通道向量（Massive MIMO 中最重要）：
h=[h1,h2,…,hM]^T
每個元素都是隨機變數，因此整個系統都是 向量化的統計模型。
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🧠 二、聯合機率分布（Joint Distribution）
隨機向量的行為由「聯合分布」決定：
fX1,X2,…,Xn(x1,x2,…,xn)
在 MIMO 中代表：
• 多天線的通道是一起變動的
• 雜訊彼此可能相關（非白雜訊）
• UE 之間的干擾有聯合分布
• 訊號經過矩陣 H 之後的統計會變形
📌 例：
若 n是多變量高斯：
n ~ N(0, σ²·I)
則其聯合分布是：
f(n) = 1 / ( (2πσ²)^(M/2) ) · exp( − (1 / (2σ²)) · nᵀ n )
→ 這是 MIMO 接收機（ML detector）計算最常使用的模型。
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🧠 三、協方差矩陣（Covariance Matrix）— MIMO 最重要的統計工具
隨機向量的核心：協方差矩陣
K = E[ (X − E[X]) · (X − E[X])ᵀ ]
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• K：協方差矩陣（Covariance Matrix）
• X：隨機向量
• E[X]：向量的期望（平均向量）
• (X − E[X])ᵀ：轉置，用來形成外積 (outer product)
• E[ · ]：對所有隨機實現取平均
在 MIMO 中的意義：
✔ 描述天線間的相關性
（多路徑環境會導致天線越近越相關）
✔ 用於 Beamforming（預編碼）
ZF、MMSE、MRT 都需要協方差矩陣。
✔ Massive MIMO 的「通道硬化」
當天線數 M → ∞
通道向量遵循：
1/M∥h∥^2→constant
→ 訊號更穩定、干擾更可控。
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🧠 四、多變量高斯分布（Multivariate Gaussian）
如果隨機向量服從：
x∼N(μ,Σ)
那麼：
• 分布呈橢圓形
• 相關性由 Σ 決定
• MIMO 分析會變得非常「可解」
在通訊中被大量使用於：
✔ Channel Estimation（MMSE）
✔ MIMO Detection
✔ Massive MIMO Beamforming
✔ MRC / ZF / MMSE 收訊機
✔ RIS 測道模型
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💻 五、ASCII 圖示：向量通道概念
x1 x2
↓ ↓
┌────────────┐
│ H (通道矩陣) │
└────────────┘
↓ ↓
y1 y2
[x1, x2]^T 經過 H 後
變成 [y1, y2]^T
每個 yi 都是多個隨機變數的組合
在 MIMO 裡，輸入向量 x1,x2x₁, x₂x1,x2 經過通道矩陣 H 之後，被混合、旋轉、縮放，變成輸出向量 y1,y2y₁, y₂y1,y2，因此每個 yᵢ 都是多個輸入隨機變數的線性組合，這正是多天線能創造多路徑增益與空間自由度的原因。
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🧩 六、模擬題
**1️⃣ 專業題
為什麼 MIMO 通道需要使用「隨機向量模型」而不是單純的隨機變數？**
因為 MIMO 的每個天線通道不是獨立存在，而是 同時受到空間相關性、多徑共同影響、天線幾何排列、環境散射結構 這些因素的支配，因此每個天線增益不是「單一隨機變數」，而必須用 向量（h₁, h₂, …）＋ 協方差矩陣 K 才能描述多天線之間的相關性、能量分布與聯合行為。
簡言之：
👉 單天線 = 隨機變數
👉 多天線 = 隨機向量（含相關性）
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**2️⃣ 應用題
若兩個天線的通道高度相關，會發生什麼問題？對 MIMO 容量有什麼影響？**
當兩個天線高度相關時：
• 可用的空間自由度減少
• 通道矩陣 H 的秩（rank）降低
• 等效子通道（特徵值）變少或變小
• 無法同時傳多流（spatial multiplexing 失效）
➡ 最終結果：MIMO 的容量明顯下降。
一句話總結：
👉 天線越相關，MIMO 越像單天線，容量會崩。
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**3️⃣ 情境題（大樓內 4×4 MIMO 吞吐量不佳）
量測發現各天線通道非常相似，協方差矩陣可能具備什麼特性？**
正確答案：
✅ 非對角元素很大
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✔ 原因說明
當天線通道高度相似（高度相關）時：
• 協方差矩陣 K 的 非對角元素（代表相關性）會變大
• 這表示每對天線之間幾乎「走到哪都同漲同跌」
• 通道矩陣 H 的 rank 會下降
• 特徵值集中，只有 1～2 個特徵值大，其他變小甚至接近 0
結果：
👉 無法開多條空間子通道 → MIMO 無法多流傳輸 → 吞吐量遠低於預期
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🛠 七、實務演練題
1️⃣ MIMO 通道向量統計分析
• 產生 10,000 組 4×1 Rayleigh 通道向量
• 計算其協方差矩陣
• 與理論值比較
• 分析天線距離對相關性的影響
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2️⃣ 多變量高斯雜訊輸入 MIMO 系統
• 產生 2×1 多變量高斯雜訊
• 設定協方差矩陣
• 模擬不同相關性對 MIMO BER 的影響
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3️⃣ MIMO 空間相關性對容量的影響
• 建立 2×2 通道
• 設定不同相關係數（0、0.5、0.9）
• 計算 Shannon Capacity
C=log2det(I+ρNtHH†)C = \log_2\det\left( I + \frac{\rho}{N_t} HH^\dagger \right)C=log2det(I+NtρHH†)
• 分析相關性越大容量越低的原因
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✅ 八、小結與啟示
✔ 隨機向量是 MIMO 的語言
✔ 聯合分布描述多天線「一起」變動的特性
✔ 協方差矩陣是預編碼、偵測、估測的核心工具
✔ 多變量高斯分布讓 MIMO 分析變得可解
✔ Massive MIMO 的通道硬化與天線相關性本質都是統計問題
👉 一句話總結：MIMO 看似矩陣工程，但核心是一門「隨機向量的藝術」。
