📘 《AI 時代系列（6）：進階通訊工程——邁向2035年太空星鏈網路時代》
4/100 第一週：📌 🌐 破解通訊世界的語言：AI × 通訊的數學底層
4. 期望、方差、矩母函數 📊 訊號的平均行為
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通訊系統中，每個符號、每段通道、每個雜訊樣本都在不斷變動。
要理解這些變動，我們不只要知道「隨機事件會發生」，還要知道：
👉 平均來說會怎麼行為？
看「期望值」：整體長期平均會往哪裡收斂。
👉 會偏移多少？
看「偏差／偏移量」：實際值與期望值的平均差距。
👉 波動有多大？
看「變異數／標準差」：整體資料分散程度。
👉 怎麼用數學優雅地描述整體行為？
用「機率分布」：例如 Gaussian、Rayleigh、Ricean、Bernoulli、Poisson 等。
這些問題的答案，就是 期望、方差、矩母函數（MGF）。
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🎯 單元導讀
無線通訊與 AI 都面對大量「隨機現象」。
若你能掌握：
• 期望（Expectation, E[X]）
• 方差（Variance, Var[X]）
• 矩母函數（Moment Generating Function, MGF）
你就能：
✔ 評估通道平均品質
✔ 分析 BER 在不同通道下的期望表現
✔ 推導通訊容量
✔ 精準描述雜訊分布
✔ 理解 AI 訓練中的損失波動
📌 一句話：期望與方差是所有通訊統計公式的根。
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🧠 一、期望（Expectation）— 平均行為的數學基礎
期望就是「隨機變數的加權平均」。
若 X 是連續機率變數：
E[X] = ∫₋∞⁺∞ x · fₓ(x) dx例子：
1. AWGN 雜訊：
n∼N(0,σ^2)n
→ 期望 = 0（雜訊平均不偏移）
2. Rayleigh 衰落振幅：
E[h] = σ · √(π / 2)
在無 LOS 的無線通訊環境中，通道振幅常以 Rayleigh 分布建模，其平均振幅為 E[h] = σ·√(π/2)；而通道功率 |h|² 服從指數分布，經常為了簡化通訊分析而採用標準化形式 E[|h|²] = 1。在通訊工程中，這些期望值用來描述系統的平均行為，包括平均功率、平均容量、平均 BER，以及 AI/ML 中模型的平均損失；而方差 Var(X) = E[(X - E[X])²] 則反映不確定性與波動的強度，方差越大，通道越不穩定，SNR 與 SINR 的變化也越顯著。透過期望與方差，我們可以更精準地理解通道特性並設計更可靠的通訊系統。
例子：
1. AWGN 雜訊
Var(n) = σ²越大 → 星座圖越散 → BER 越高。
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2. Rayleigh 衰落功率
|h|² 服從指數分布（Exponential）。
Var(|h|²) = 1（標準化假設）意味著：
📌 在衰落環境中，通道品質波動非常劇烈。
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3. AI 訓練中的 Loss 方差
在深度學習中，使用 SGD（Stochastic Gradient Descent） 訓練時，每一個 mini-batch 都只使用部分資料，因此每次計算到的 loss 與 gradient 都具有隨機性。這種隨機性會造成 loss 的方差：
• 方差大 → 梯度震盪大 → 學習不穩定 → 更難收斂
• 方差小 → 梯度更平滑 → 訓練更穩定
為了降低 batch loss 的方差，常用策略包括：
• 降低學習率（learning rate）
→ 減少震盪，使更新更平順
• 使用 Batch Normalization
→ 穩定 batch 內的分布、降低梯度變異
• 增大 batch size
→ 減少隨機波動，提高梯度一致性
• 使用 Adam、RMSProp 等自適應方法
→ 透過移動平均降低梯度方差
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🧠 三、矩母函數（MGF）— 描述分布最強的工具
矩母函數用來產生隨機變數的所有矩（moments），是機率論與通訊工程常用的重要工具。
其定義為：Mₓ(t) = E[e^(tX)]
MGF 的重要性在通訊界無與倫比，原因如下：
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📌 MGF 可求出所有矩（moments）
矩母函數能從導數中產生所有矩，是機率論、通訊工程與統計模型中最常用的工具之一：
• 一階導數 → 期望值（Mean）
• 二階導數 → 方差（Variance）
• 高階導數 → 更深層統計特性（偏度、峰度…）
其關係式如下：
E[X] = Mₓ′(0)
Var(X) = Mₓ″(0) − (Mₓ′(0))²
📌 MGF 能將「通道 + 雜訊」融合成分析可解的公式
矩母函數（MGF）最強大的價值，就是能把「通道衰落 + 雜訊」這類原本複雜到很難解的積分，轉換成可處理、可積分的形式。例如在 Rayleigh 衰落環境下，我們想求平均 BER，需要對 AWGN 下的 BER 公式 和 SNR 的分布 fγ(γ) 進行積分：
原本的平均 BER：
BER = ∫0~∞ BER_AWGN(γ) · f_γ(γ) dγ
這種積分原本極度難解，尤其不同調變方式（BPSK/QPSK/QAM）都會出現複雜函數。
但使用 MGF 後，可以將問題簡化為：
平均 BER = ∫0~∞ M_γ(t) dt
MGF 本身能夠「吸收」通道的隨機特性，把衰落的複雜度全部編碼進一個簡單函數裡，因此通訊工程師可以快速推算：
• 平均 BER
• 平均 SER
• 平均容量
• 干擾功率分布
• 多天線合併輸出（MRC、EGC、SC）
→ 這就是為什麼通訊工程師超愛用 MGF！
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📌 MGF 讓複雜積分變簡單
在衰落通道下，平均 BER 通常需要對 SNR 分布積分，原始形式非常難解。然而 MGF（矩母函數）能把這種複雜積分轉換為可解的閉合解（closed-form）。
以 Rayleigh 衰落的瞬時 SNR γ 為例，其 MGF 為：
Mγ(t) = 1 / (1 − t·γ̄)
其中 γˉ 是平均 SNR。
將此 MGF 代入 BER 的 MGF 型公式後，多數調變方式（例如 BPSK、QPSK）的 平均 BER 都能得到封閉解，避免了原本難得要命的積分。
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💻 四、ASCII 圖示：期望、方差與 MGF 直觀示意
數據分布：
X
X X
X X
X X
-------------------> 值
期望 = 分布的中心
方差 = 分布的寬度
MGF = 用 e^(tX) 捕捉所有特性
星座點:
原始 (無噪音)
X X
加 AWGN (高方差)
o x o x o
X o x o
期望不變，但方差讓點散開
上面的圖示把「期望、方差、MGF」的核心直覺一次抓出來：數據分布像是一條彎曲的線，**期望（mean）**就是整個分布的中心位置；**方差（variance）**則描述分布的寬度，越寬表示資料越分散、不確定性越高；而 MGF 則透過 e^tX 將分布的所有深層特性（期望、方差到更高階矩）全部編碼在一個函數裡。星座圖的例子則更直觀：沒有噪音時點清晰集中；加入 AWGN 後，點開始四散開來，代表方差變大，但點群的中心（期望）依然不變。這就是統計三工具如何從不同角度描述「資料的位置、散度與整體特性」。
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🧩 五、模擬題
⭐ 1️⃣ 專業題（核心網與基地台測試）
題目：
在中華電信進行 4G/5G 網路優化時，工程師常觀察 RSRP/RSRQ 與 SINR。請說明在 AWGN 模型中，「期望」與「方差」分別代表什麼物理意義，以及它們在 SINR 測量結果中的角色。
✅ 解答：
📌 期望（Mean）在 AWGN 中的物理意義
• AWGN 假設噪音平均值為 0
• 代表噪音沒有偏移、不會造成系統性誤差
• 在 SINR 中 → 不會影響平均 SINR 的位置
📌 方差（Variance = σ²）在 AWGN 中的物理意義
• 方差代表「雜訊功率」
• σ² 越大 → 雜訊越強 → SINR 越低
• σ² 越小 → 雜訊弱 → SINR 越高
📌 對 RSRP/RSRQ/SINR 的影響
• RSRP：受噪音影響小（主要看基地台功率 + 路徑損耗）
• RSRQ：間接受到噪音影響，與干擾更相關
• SINR：最直接受到方差影響
→ 方差大時 SINR 會抖動，導致 UE 體驗不穩定
期望決定噪音是否偏移；方差決定噪音強度，直接影響 SINR 的穩定度與 UE 體驗。
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⭐ 2️⃣ 應用題（Rayleigh 衰落 × 行動網路真實情境）
題目：
在市區高樓林立的環境中（典型 Rayleigh 通道），UE 的瞬時 SINR 波動劇烈。請說明這對中華電信的平均 BER、吞吐量有何影響？並說明工程師為何使用 MGF 來分析，而不是直接做 SNR 分布積分。
✅ 解答：
📌 Rayleigh 環境的特性
• 多路徑反射嚴重
• 無 LOS（NLOS）為主
• 瞬時 SINR 大幅波動
📌 對平均 BER 的影響
Rayleigh 下：
• SNR 有時高、但更多時候掉很低
• 「低 SNR 占比放大」 → 平均 BER 明顯變差
即使平均 SNR 相同，Rayleigh BER 一定比 AWGN 差。
📌 對吞吐量（Throughput）的影響
• SINR 波動大 → 調變編碼階層（MCS）頻繁切換
• UE 容量不穩定 → 速率忽高忽低
• 分時排程（Scheduler）效率下降
• 熱點區更容易卡頓
📌 為何要使用 MGF？（通訊工程師神工具）
平均 BER 原始公式：
BER = ∫(0 → ∞) BER_AWGN(γ) · f_γ(γ) dγ
這個積分很難解，因為：
• Rayleigh 的 SNR 分布 f_γ(γ) 是指數分布
• 調變（BPSK / QPSK / QAM）的 BER 函數本身就很複雜
• 一般積分無法得到封閉解（closed-form）
MGF 能做什麼？
Rayleigh SNR 的 MGF 為：
M_γ(t) = 1 / (1 − t·γ̄)
（γ̄ 代表平均 SNR）
代入 MGF 型平均 BER 公式後：
平均 BER = ∫(0 → ∞) M_γ(t) dt
Rayleigh 讓 BER 與吞吐量惡化；MGF 讓本來難得要命的平均 BER 積分變得能解。
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⭐ 3️⃣ 情境題（熱點區現場維運）
題目：
在巨蛋或車站等熱點區，工程師觀察到：UE 的回傳速率忽快忽慢，但平均 RSSI 與平均 RSRP 都十分穩定。請判斷這較可能是哪一種統計量造成的問題？其背後的通道物理現象是什麼？並說明工程師該如何處理。
✅ 解答：
📌 最可能的問題來源：方差（Variance）
因為：
• 平均 RSSI/RSRP 不變 → 期望很穩定
• 速率忽快忽慢 → SINR 波動大 → 方差大
這是 典型的小尺度衰落問題。
📌 背後的通道物理現象
• Rayleigh 或 Rician 小尺度衰落
• 多路徑反射強烈（人群、金屬、建築物）
• 多用戶干擾（Cochannel Interference）
• 上下行排程波動
• UE 移動造成 Doppler 變化
雖然平均 RSSI 穩定，但 RSSI/RSRP 並不能反映 SINR 的波動。
真正的病因是：SINR variance 太大。
📌 工程師常見的解決方式
• 增加小區（小基站 / Pico / Femto）密度
• 啟用更多 SCell（CA 載波聚合）
• 加強干擾管理（ICIC / eICIC）
• 調整天線 Downtilt、Beamforming 配置
• 啟用 5G NR SA，在熱點降低 4G 負載
• 排程器（Scheduler）優化，穩定 MCS 切換
RSSI 穩定但速度跳動 → 絕大多是「方差太大」造成的 SINR 波動 → 必須從干擾、反射、多路徑與負載著手改善。
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🛠 六、實務演練題
1️⃣ 計算 AWGN 系統下的平均 BER
• 建立 BPSK 傳輸
• 加入不同 σ² 的 AWGN
• 計算期望 BER
• 比較 σ² 對 BER 曲線的影響
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2️⃣ 估計 Rayleigh 通道增益的期望與方差
• 產生 10,000 個 Rayleigh 隨機變數
• 計算其平均值與方差
• 與理論值比較
• 分析差異原因（樣本數、偏差）
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3️⃣ 使用 MGF 推導平均 SNR 下的平均容量
C=E[log2(1+γ)]C = E[\log_2(1+\gamma)]C=E[log2(1+γ)]
• 實測 γ 分布
• 寫出 γ 的 MGF
• 用 MGF 計算平均容量
• 與蒙地卡羅結果比較
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✅ 七、小結與啟示
✔ 期望：看平均行為
✔ 方差：看穩定性
✔ MGF：設計通訊系統最強大的數學武器
✔ AWGN、Rayleigh、Rician 全能用 MGF 分析
✔ BER / 容量 / SNR 平均表現全靠這三大工具
👉 一句話總結：期望與方差讓你理解「平均世界」，MGF 讓你掌控「隨機世界」。
