GRSS relativity 024
如何求得座標基底向量的對偶？
前節提到，設有曲面函數x³ = F(x¹, x²)，其中，x¹、x² 都是獨立變數，x³ 為前二者之函數所決定。其在(x¹, x², x³) 座標系的「參數化向量表示」為：
P(t) = (x¹(t), x²(t), x³(t))
當三維空間上一點P 沿著向量V 方向、移動到另一鄰近點P + dP 時，有：
dP/dt
= ∂P/∂x¹ dx¹/dt + ∂P/∂x² dx²/dt
= (∂/∂x¹ dx¹/dt + ∂/∂x² dx²/dt) P
= (∂/∂x¹ V¹ + ∂/∂x² V²) P
= V(P)
此處，將「在某點上的向量」V() 定義為「對於點的方向導數算子」(directional derivative operator on a point)，亦即，將一參數化的點、抽象地「沿向量V 方向微分」，而dP/dt 便是該抽象的微分之結果。
在上式中、絕不應出現∂P/∂x³ dx³/dt 之項，蓋因，僅x¹、x² 是獨立變數，x³ 非獨立變數、乃為x¹、x² 之函數所決定，故不應混淆偏微分的維度、與分量的維度，而，點P 則是三維空間上的點，對其偏微分後、自然包含第三維度之分量。
其具體表達、為：
dP/dt
= e₁ dx¹/dt + e₂ dx²/dt
= W₁ dx¹/dt + W₂ dx²/dt
= [1, 0, ∂F/∂x¹] dx¹/dt + [0, 1, ∂F/∂x²] dx²/dt
= [1, 0, ∂F/∂x¹] V¹ + [0, 1, ∂F/∂x²] V²
顯示、其乃三維向量，依賴於二維之自由度；
由上式、可以看出：V¹ 非唯是切向量W₁ V¹ 之係數，亦是切向量W₁ V¹ 在二維平面的投影(1, 0, 0) 方向之移動程度dx¹/dt，而，V² 非唯是切向量W₂ V² 之係數，亦是切向量W₂ V² 在二維平面的投影(0, 1, 0) 方向之移動程度dx²/dt；因而，若非將V(P) 視為「對於點的方向導數」，而是將其視為「對於函數的方向導數」，則得不到投影之直觀意義；
偏微分後、第三維的分量為：∂F/∂x¹ dx¹/dt + ∂F/∂x² dx²/dt，即狹義的「對於函數的方向導數」(directional derivative on function)。
思之，既然：
V(P) dt
= dP
= ∂P/∂x¹ dx¹ + ∂P/∂x² dx²
= W₁ dx¹ + W₂ dx²
則定義「推進微分dP() 作用於向量V」如下，將有：
dP(V)
= W₁ dx¹(V) + W₂ dx²(V)
= W₁ V₁(P) + W₂ V₂(P)
= W₁ V¹ + W₂ V²
= V(P)
其中，dx¹(V) = V₁(P) = V¹ 代表：對於向量V，dx¹ 貢獻了V¹，dx²(V) = V₂(P) = V² 代表：對於向量V，dx² 貢獻了V²。
dx¹()、dx² 並非與切向量W₁、W₂ 同位於切平面之向量、而是稱為「一形式」(1-form) 之「線性泛函」，至於V¹、V²、則是向量V 以切向量W₁、W₂ 表達時之分量、為純量。
總結以上：
「推進微分dP() 作用於向量V」之結果，等於點P 沿向量V 方向的變化率，即：dP/dt，依另一觀點，亦同時等於、將點P 抽象地「沿向量V 方向微分」之結果，即：V(P)。
形象地描述，dP(V) 描述點P 沿向量V 方向的移動，也就是「頭到尾」，dP/dt 則是其變化之程度，也就是「如何」，V(P) 則為向量V 乃從點P 出發之表述，也就是「尾之頭」，三者、一也；
同理，dx¹(V) 描述點P 沿切向量W₁ V¹ 在二維平面的投影(1, 0, 0) 方向的移動，也就是「頭到尾」，dx¹/dt 是其變化之程度，也就是「如何」，V₁(P) 則為切向量W₁ V¹ 在二維平面的投影(1, 0, 0) 乃從點P 出發之表述，也就是「尾之頭」，三者、一也。
實際情況一：
向量W₁ V¹ 完全沿x¹ 方向指向，意謂：其在x¹ 方向的分量為V¹，在x² 方向的分量為0。
此時，「推進微分dP() 作用於向量W₁ V¹」之結果為：
dP(W₁ V¹)
= W₁ dx¹(W₁ V¹) + W₂ dx²(W₁ V¹)
又因，對於向量W₁ V¹，dx¹ 貢獻了V¹，dx² 貢獻了0，此相當於：
dx¹(W₁ V¹) = V¹
dx²(W₁ V¹) = 0
由上、即證明：
dx¹(∂/∂x¹) = 1
dx²(∂/∂x¹) = 0
代入原式、得到：
dP(W₁ V¹) = W₁ V¹
實際情況二：
向量W₂ V² 完全沿x² 方向指向，意謂：其在x¹ 方向的分量為0，在x² 方向的分量為V²。
此時，「推進微分dP() 作用於向量W₂ V²」之結果為：
dP(W₂ V²)
= W₁ dx¹(W₂ V²) + W₂ dx²(W₂ V²)
又因，對於向量W₂ V²，dx¹ 貢獻了0，dx² 貢獻了V²，此相當於：
dx¹(W₂ V²) = 0
dx²(W₂ V²) = V²
由上、即證明：
dx¹(∂/∂x²) = 0
dx²(∂/∂x²) = 1
代入原式、得到：
dP(W₂ V²) = W₂ V²
現在，已有座標基底向量(e₁, e₂)，欲知其對偶[dx¹, dx²] 為何。
方法一：
利用對偶的特性：dxⁱ(eⱼ) = δⁱⱼ，解連立方程式：
dx¹(e₁) = 1，dx¹(e₂) = 0
dx²(e₁) = 0，dx²(e₂) = 1
方法二：
先將前述表為二矩陣相乘等於單位矩陣，即：
[dx¹, dx²] (e₁, e₂) = I
令：
E⁺ (e₁, e₂) = I
其中，E⁺ = [dx¹, dx²]。
再將兩邊同乘座標基底向量矩陣E 之「轉置」Eᵀ，此即：
E⁺ (e₁, e₂) Eᵀ = I Eᵀ = Eᵀ
更將兩邊同乘矩陣(e₁, e₂) Eᵀ 之「逆」，此即：
E⁺ (e₁, e₂) Eᵀ ((e₁, e₂) Eᵀ)⁻¹ = Eᵀ ((e₁, e₂) Eᵀ)⁻¹
得到：
E⁺
= Eᵀ ((e₁, e₂) Eᵀ)⁻¹
= [e₁, e₂] ((e₁, e₂) [e₁, e₂])⁻¹
其中，[ , ] 是為「樁」矩陣，( , ) 是為「槓」矩陣。
然而，逆矩陣有解、其前提是行列式不為0；當行列式等於0 時，因逆矩陣無解，可取Moore-Penrose 定義的「偽逆」作為近似的最小平方解，此即：
E⁺ = V Σ⁺ Uᵀ
已知、座標基底向量為：
e₁ = [1, 0, ∂F/∂x¹] = W₁
e₂ = [0, 1, ∂F/∂x²] = W₂
其對偶解非唯一、取第三分量為0 者 (省略計算)：
dx¹ = (1, 0, 0) = V₁
dx² = (0, 1, 0) = V₂
向量V₁、V₂ 各為切向量W₁、W₂ 在二維平面之投影、及「對偶」(dual)。
GRSS relativity 025
設有x³ = F(x¹, x²) 為(h, θ, z) 座標系中的曲面函數，
x¹ = h
x² = h tanθ
x³ = z
此中，唯h、θ 是獨立變數，x¹、x²、x³ 則為前二者之函數所決定。
其在(h, θ, z) 座標系的「參數化向量表示」為：
P(h(t), θ(t))
= (x¹(t), x²(t), x³(t))
= (h(t), h(t) tanθ(t), z(t))
當三維空間上一點P 沿著向量V 方向、移動到另一鄰近點P + dP 時，有：
dP/dt
= e₁ dh/dt + e₂ dθ/dt
= W₁ dh/dt + W₂ dθ/dt
= W₁ V₁(P) + W₂ V₂(P)
= W₁ V¹ + W₂ V²
= V(P)
值得注意者，此時，獨立變數為h、θ，而非x¹、x²，故不能直接將x² = h tanθ 視為獨立變數、而對之偏微分。
依上述、可得 (省略計算)：
e₁ = [1, tanθ, ∂F/∂h] = W₁
e₂ = [0, h sec²θ, ∂F/∂θ] = W₂
其對偶解非唯一、取第三分量為0 者 (省略計算)：
dh = (1, 0, 0) = V₁
dθ = (-tanθ/(h sec²θ), 1/(h sec²θ), 0) = V₂
因切向量W₁、W₂ 非正交，故與對偶間、無法顯示互為投影之關係，其對偶V₁、V₂ 雖亦可對應至二維平面上，然非投影。
在二維平面上，W₁ = [1, tanθ] 與V₂ = (-tanθ/(h sec²θ), 1/(h sec²θ)、及W₂ = [0, h sec²θ] 與V₁ = (1, 0) 互相垂直，顯示為：
(-tanθ/(h sec²θ), 1/(h sec²θ) · [1, tanθ] = 0
(1, 0) · [0, h sec²θ] = 0
然，就三維空間視之，W₁ = [1, tanθ, ∂F/∂h] 與V₁ = (1, 0, 0)、及W₂ = [0, h sec²θ, ∂F/∂θ] 與V₂ = (- tanθ/(h sec²θ), 1/(h sec²θ, 0) 則並不具互為投影之關係。
實際情況一：
當V = W₁，因W₁ = [1, tanθ, ∂F/∂h]，
dh 貢獻了：
dh(W₁)
= (1, 0, 0) · [1, tanθ, ∂F/∂h]
= 1
dθ 貢獻了：
dθ(W₁)
= (- tanθ/(h sec²θ), 1/(h sec²θ), 0) · [1, tanθ, ∂F/∂h]
= 0
實際情況二：
當V = W₂，因W₂ = [0, h sec²θ, ∂F/∂θ]，
dh 貢獻了：
dh(W₂)
= (1, 0, 0) · [0, h sec²θ, ∂F/∂θ]
= 0
dθ 貢獻了：
dθ(W₂)
= (- tanθ/(h sec²θ), 1/(h sec²θ), 0) · [0, h sec²θ, ∂F/∂θ]
= 1
之所以剛好等於1、0，原因在於：V¹ 乃由dh/dt 所定義，V² 乃由dθ/dt 所定義，因而，當向量V 退化為W₁ 時，W₁ 之係數必須為1、其他非W₁ 之係數必須為0，當向量V 退化為W₂ 時，W₂ 之係數必須為1、其他非W₂ 的係數必須為0；至於、其後之計算，不過是驗證此內秉之性質耳。
然則，何以、等於1、0 之結果、又恰好是藉由對偶dh、dθ 與切向量W₁、W₂ 之「內積」求出呢？
思之，既然，「在點P上的向量」V(P) 可展開為以切向量W₁、W₂ 表達的分量之形式：
V(P) = W₁ V¹ + W₂ V²
而對偶的「求分量」之「線性泛函」功能、就是設計來嵌入此形式者，故有：
(dx¹, dx¹) · (W₁ V¹, W₂ V²) = dx¹ W₁ V¹ + dx¹ W₂ V² = V¹ + 0
(dx², dx²) · (W₁ V¹, W₂ V²) = dx² W₁ V¹ + dx² W₂ V² = 0 + V²
觀上、應可曉了，「對偶」並非直觀的幾何投影，亦非先天存在的幾何性質，而只是後設人為的運算工具。
上述，W₁ = [1, tanθ, ∂F/∂h]、和W₂ = [0, h sec²θ, ∂F/∂θ]，乃以x̂、ŷ、ẑ 為基底表示者，然而，事實上，切向量W₁、W₂ 亦可以單位基底 (unit basis) ĥ、θ̂、ẑ 表示，而ĥ、θ̂、ẑ 與x̂、ŷ、ẑ 間、又有如下之轉換關係：
ĥ = x̂
θ̂ = - sinθ x̂ + cosθ ŷ
ẑ = ẑ
可求出：
x̂ = ĥ
ŷ = tanθ ĥ + 1/cosθ θ̂
ẑ = ẑ
今，令L 為前者之轉換矩陣，即相當於：
(ĥ, θ̂, ẑ) = (x̂, ŷ, ẑ) L
其中，
L = ([1, 0, 0], [- sinθ, cosθ, 0], [0, 0, 1])
( , ) 是為「槓」矩陣，[ , ] 是為「樁」矩陣。
又因，基底矩陣、乘以切向量分量之矩陣，有如下的轉換關係：
(x̂, ŷ, ẑ) [W]
= (ĥ, θ̂, ẑ) [W̄]
= (x̂, ŷ, ẑ) L [W̄]
消去等式兩邊的(x̂, ŷ, ẑ)、得到：
[W] = L [W̄]
此即：
L⁻¹ [W] = L⁻¹ L [W̄]
將等號兩邊左右交換、即得到：
[W̄] = L⁻¹ [W]
其中，
L⁻¹ = ([1, 0, 0], [tanθ, 1/cosθ, 0], [0, 0, 1])
( , ) 是為「槓」矩陣，[ , ] 是為「樁」矩陣。
是以，援轉換矩陣之「逆」L⁻¹、乘以以x̂、ŷ、ẑ 為基底表示的切向量W₁、W₂，即得到以ĥ、θ̂、ẑ 為基底表示的切向量W̄₁、W̄₂ 如下 (省略計算)：
W̄₁ = [1 + tan²θ, tanθ/cosθ, ∂F/∂h]
W̄₂ = [h sec²θ tanθ, (h sec²θ)/cosθ, ∂F/∂θ]
驗證如下：
W₁
= 1 x̂ + tanθ ŷ + ∂F/∂h ẑ
= 1 (ĥ) + tanθ (tanθ ĥ + 1/cosθ θ̂) + ∂F/∂h (ẑ)
= (1 + tan²θ) ĥ + tanθ/cosθ θ̂ + ∂F/∂h ẑ
= W̄₁
和
W₂
= 0 x̂ + (h sec²θ) ŷ + ∂F/∂θ ẑ
= 0 (ĥ) + (h sec²θ) (tanθ ĥ + 1/cosθ θ̂) + ∂F/∂θ (ẑ)
= h sec²θ tanθ ĥ + (h sec²θ)/cosθ θ̂ + ∂F/∂θ ẑ
= W̄₂
其對偶解非唯一、取第三分量為0 者 (省略計算)：
dh̄ = (1, 0, 0) = V̅₁
dθ̄ = (0, 1/(h sec²θ cosθ), 0) = V̅₂
驗證如下：
dh
= 1 x̂ + 0 ŷ + 0 ẑ
= 1 (ĥ) + 0 (tanθ ĥ + 1/cosθ θ̂) + 0 (ẑ)
= 1 ĥ
= dh̄
和
dθ
= -tanθ/(h sec²θ) x̂ + 1/(h sec²θ) ŷ + 0 ẑ
= -tanθ/(h sec²θ) (ĥ) + 1/(h sec²θ) (tanθ ĥ + 1/cosθ θ̂) + 0 (ẑ)
= 0 ĥ + 1/(h sec²θ cosθ) θ̂ + 0 ẑ
= 1/(h sec²θ cosθ) θ̂
= dθ̄
對偶基底dh̄ = (1, 0, 0)、和dθ̄ = (0, 1/(h sec²θ cosθ), 0)，與切向量W̄₁ = [1 + tan²θ, tanθ/cosθ, ∂F/∂h]、和W̄₂ = [h sec²θ tanθ, (h sec²θ)/cosθ, ∂F/∂θ]，其間的對偶關係、不能一概用「內積」去驗證，因為，「內積」運算、乃在x̂、ŷ、ẑ 為基底之基礎上進行者，而現在、則是援用ĥ、θ̂、ẑ 為基底，故尚應還原為此等基底相乘的最原始乘法分配律，才能呈現1、0 之結果。
觀上、應可曉了，不但「對偶」非先天存在的幾何性質，即便「內積」、「矩陣乘法」等、也只是後設人為的運算工具而已。
