📘 《AI 時代系列（6）：進階通訊工程——邁向2035年太空星鏈網路時代》
📘 第 2 周 📡 香農的宇宙：資訊從何而來、能傳多快？
從香農到 AI Channel Model 的完整架構
16／150 單元：香農極限 🎯 永遠無法突破的邊界
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🎯 單元導讀
你已經理解了三大基石：
• 熵（資訊量）
• 互資訊（成功傳達的資訊量）
• 通道容量（極速上限）
但香農在 1948 年提出了一個「超越所有科技」的大定律：
⭐ **只要有雜訊存在，資訊傳輸永遠有極限。
任何人、任何技術都不可能超越它。**
這條極限，就是：
🎯 香農極限（Shannon Limit）
它不像容量公式 C = B log₂(1+SNR) 只是「速度極限」。
香農極限告訴我們：
❗ 你必須付出多少 SNR 才能讓 BER 趨近 0（可靠傳輸）。
❗ 若低於此 SNR → 無論你多努力，錯誤率永遠無法降到 0。
這是「可靠通訊」的宇宙底線。
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🧠 一、什麼是香農極限（可靠通訊的最低 SNR）
容量告訴你：
在 SNR 足夠高時，你可以跑某資料速率。
香農極限告訴你另一個更重要的問題：
在特定碼率 R 下，你至少需要多少 SNR 才能無誤傳輸？
數學形式：
⭐ 若 R ≤ C(SNR)，則可靠傳輸可能
⭐ 若 R > C(SNR)，則可靠傳輸必定不可能
這裡的「C(SNR)」就是容量曲線。
也就是：
你的碼率必須壓在容量曲線下方。
只要跑到容量以上 → 任何編碼都救不了你。
這就是香農極限本質。
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🧠 二、圖示：碼率 vs 容量 = 生死線
碼率 R
^
| (不可能區域)
| R > C(SNR)
| X X X X X X X X X
|
|-----------可 行 區 域-----------
|
+---------------------------------> SNR
這張圖說明了通訊系統中「碼率 R」與「SNR」之間的根本限制：在任何 SNR 下，資料傳輸速率都不能超過 Shannon 所定義的容量 C(SNR)。圖中上半部的區域（R > C）是完全不可能實現的，無論你使用多高階的調變、編碼或 AI 接收器，都無法突破這條物理極限；只有在 R ≤ C(SNR) 的「可行區域」內，系統才有機會在可接受的錯誤率下正常工作。簡單來說：SNR 決定了通道的天花板，超過容量的碼率永遠無法實現。
容量 C = B log2(1+SNR)
碼率 R
可靠傳輸區：
R < C → OK
不可能區域：
R > C → impossible
這圖可以掛在所有通訊工程師的書桌前。
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🧠 三、香農極限的經典形式（Eb/N₀ 版本）
通訊界最常用的一句話：
⭐ 可靠傳輸至少需要 ~ -1.6 dB 的 Eb/N₀
（對於無限長碼字、二元輸入 AWGN 通道）
這個神奇的 -1.6 dB 是「理論最低能量需求」。
表示：
• 若你每個 bit 的能量低於雜訊能量 → 仍然可以可靠傳輸
• 但最低不可能低於 -1.6 dB
• 任何編碼、AI、宇宙算法都無法突破這條線
這就是「可靠通訊」的宇宙底限。
此值來自：
R → 0（極低碼率）時的容量極限
Eb/N₀|min = -1.59 dB
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🧠 四、為什麼香農極限永遠無法突破？
理由只有一個：
⭐ 容量（C）來自「最大互資訊」。
⭐ 互資訊由「熵」定義，是物理世界的本質。
❗ 沒有任何技術能創造額外資訊容量。
任何通訊系統只能：
• 靠編碼接近容量
• 靠 MIMO 增加平行通道數
• 靠 AI 提高「有效 SNR」
• 靠 RIS 改善路徑
• 靠 THz 增加頻寬
• 靠 LEO 減少路徑損耗
但是：
❌ 不能創造超過 C 的資訊通道
❌ 不存在超越容量、超越香農極限的魔法
從香農 1948 年到 2025 年，沒有任何技術曾突破此極限。
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🧠 五、那為什麼 LDPC、Turbo、Polar 看起來很厲害？
它們都做同一件事：
⭐「逼近香農極限」
不是突破，而是接近。
• Turbo Code（3G 時代）→ 靠近 0.5~1 dB
• LDPC（5G）→ 靠近 0.1~0.2 dB
• Polar（5G 控制面）→ 靠近理論最佳
• Deep Learning-based Coding（2020s）→ 能靠近 0.1 dB 內
但仍然：
⭐ 任何通訊系統的碼率若超過容量，就不可能可靠傳輸。
⭐ 在容量線以上，所有編碼都必定失效，BER 無法逼近 0。
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🛰 六、星鏈 / NTN 與香農極限
你已知道 NTN 有：
• 雨衰
• 大氣衰減
• 干擾
• Doppler
• Spot Beam 切換
• 大距離路徑損耗
這些都讓「有效 SNR」下降。
因此在 NTN 中：
⭐ 香農極限 = Link Outage 的物理解釋
若雨衰後 SNR_eff 掉到某值以下 →
即使最強 LDPC 也救不了 →
直接造成：
• Frame lost
• Beam切換 drop
• throughput collapse
• FSO link outage
NTN 的關鍵不是演算法，而是：
👉 必須確保 SNR 不低於香農極限對應的門檻。
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🧠 七、模擬題
1️⃣ 專業題
解釋香農極限的物理意義，以及為什麼任何編碼都無法突破香農極限。
📜 答案：
香農極限描述在特定 SNR 下能無誤傳輸的最高碼率。
若碼率高於容量，互資訊不足以支撐可靠傳輸，因此任何編碼皆無法修正錯誤。
這個極限源自熵與互資訊，代表通道可交換的最大資訊量，是不可突破的物理定律。
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2️⃣ 應用題
某 LEO 星鏈在雨衰後 SNR_eff 下降，導致 LDPC 無法解碼。此行為說明：
A. 演算法太弱
B. SNR 已掉到香農極限以下
C. OFDM 失去正交性
D. 多路徑太強
🛰 答案：B
因為落到容量線以下，再強的編碼也救不了。
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3️⃣ 情境題
若某通訊系統已經達到距容量 0.1 dB 內，還能再改善速度嗎？
A. 可以，只要 AI 足夠強
B. 可以，用更複雜 LDPC
C. 不行，已接近香農極限
D. 要加天線
📶 答案：C
AI 只能讓你更接近極限，不可能突破。
（註：若想增加速率，只能改變 B 或 SNR 或加天線。）
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🛠 九、實務演練題
1️⃣ 計算不同碼率 R 所需的最小 SNR（可靠傳輸極限）
2️⃣ 測量 LDPC 在 AWGN 下與香農極限的差距（gap to capacity）
3️⃣ 比較 Turbo / LDPC / Polar 與極限的距離
4️⃣ 觀察 NTN 雨衰中，SNR_eff 掉到極限以下的 outage 行為
5️⃣ 在 OFDM Rayleigh 通道下測試「距離香農極限有多遠」
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✅ 十、小結與啟示
✔ 香農極限是「可靠傳輸」的物理下限
✔ 若 SNR < 極限 → 再強編碼也沒救
✔ LDPC / Polar / AI Coding 只能「接近」，不能突破
✔ 5G/6G/星鏈只是在想辦法提高 B 或 SNR
✔ AI-native Network 的目標是讓你更靠近容量線
✔ NTN 雨衰超過極限 → 直接 outage，不是演算法問題
一句話：
⭐ 香農極限不是限制科技，它是宇宙對通訊的物理法則。
