📘 《AI 時代系列（6）：進階通訊工程——邁向2035年太空星鏈網路時代》
📘 第 2 周 📡 香農的宇宙：資訊從何而來、能傳多快？
從香農到 AI Channel Model 的完整架構
15／100 單元：BSC / BEC 模型 🚪含 🛰 NTN 雨衰版本**
________________________________________
🎯 單元導讀
前面幾章我們在連續世界（高斯通道、容量、SNR）裡探索。
但許多通訊系統 —— 例如：
• 衛星通訊
• 深空通訊
• 光通訊（FSO）
• 雨衰嚴重的 Ka/Ku 頻段
• LEO/NTN downlink
• 低功率物聯網（短封包）
• 控制訊息（信令 Channel）
• Coding 調變後的 bit-level 行為
其實更適合「離散通道模型」。
兩個模型支配離散通道世界：
⭐ BSC（Binary Symmetric Channel）二元對稱通道
⭐ BEC（Binary Erasure Channel） 二元擦除通道
而 NTN（3GPP Rel-17/18 的衛星網路）
在雨衰期間，通道行為嚴重偏向 BEC / BSC 的極端版本。
今天這章，就是從「理論通道」走向「星鏈與 NTN 的真實通道」。
________________________________________
🧠 一、BSC（Binary Symmetric Channel）── 位元翻轉的世界
BSC 是最基本的 bit-level 通道模型。
兩個符號：0、1
通道會「翻轉」：
• 傳 0 → 以機率 p 變成 1
• 傳 1 → 以機率 p 變成 0
數學模型:
P(Y ≠ X) = p
P(Y = X) = 1 − p
通道示意：
0 ----> 0 with prob 1-p
0 ----> 1 with prob p
1 ----> 1 with prob 1-p
1 ----> 0 with prob p
p 越大 → 通道越差。
📌 本質：代表「bit 被干擾、翻轉」。
________________________________________
🧠 二、BSC 的容量
容量公式：
C_BSC = 1 − H₂(p)
其中 H₂(p) = − p log₂ p − (1−p) log₂(1−p)
是二元熵。
意義：
• p = 0（完全無錯）→ C = 1 bit/use
• p = 0.5（完全亂數）→ C = 0 bit/use
⭐ p = 0.5 通道完全失效，無任何資訊能通過。
________________________________________
🧠 三、BEC（Binary Erasure Channel）── 位元被「抹掉」的世界
BEC 模型不是「錯誤」，而是「消失」。
傳送 bit → 通道會：
• 正確接收（1−ε）
• 直接消失，變成「erasure symbol」（ε）
數學模型：
P(Y = X) = 1 − ε
P(Y = “?” ) = ε
示意：
0 ----> 0 with prob 1-ε
0 ----> ? with prob ε
1 ----> 1 with prob 1-ε
1 ----> ? with prob ε
📌 本質：遮蔽、封包損毀、雨衰造成「看不到訊號」。
________________________________________
🧠 四、BEC 的容量
容量公式：
C_BEC = 1 − ε
極直覺：
• ε = 0 → 完美通道
• ε = 1 → 完全無法使用（全部抹除）
BEC 是所有通道最容易設計編碼的情況。
________________________________________
🧠 五、為什麼要 BSC / BEC？
（行動通訊工程中的三大用途）
1. 分析 error-correcting code（LDPC / Polar） 的理論性能
2. 研究 bit-level 可靠度
3. 作為 OFDM + Rayleigh 下的「bit mapping」近似模型
但更重要的是 —— NTN（衛星網路）尤其需要 BEC/BSC。
________________________________________
🛰 六、🛰 NTN（非地面網路） × 雨衰版本的 BSC / BEC
在 LEO/NTN 連接中（特別是 Ka/Ku/FSO）
雨衰會造成極劇烈的信號變化：
✔ 小雨：像 BSC
• 訊號可見
• bit error rate 增大
• p（翻轉機率）變大
→ 容量下降：1 − H₂(p)
✔ 大雨：像 BEC
• 整段 OFDM symbol 接收不到
• RF/FSO 直接「drop」
• erasure（抹除）大量出現
→ 容量下降：1 − ε
✔ 豪雨 / 雲層濃厚：BEC 極端版
• ε → 接近 1
• 通道容量 → 接近 0
• NTN link outage
→ 這就是 Ka 頻段最害怕的災難
⭐ 結論：
NTN 雨衰是一個「連續從 BSC→BEC」的通道惡化過程。
________________________________________
🛰 七、NTN 的 BSC/BEC 模型（公式版）
1）小雨（light rain） → BSC 模型
雨衰造成：
• SNR 中度下降
• bit error 增加
p ≈ Q(√(2 × SNR_eff))
說明：
1. 公式來自 BPSK 在 AWGN 下的 BER 模型。
2. SNR_eff 是雨衰後的有效 SNR。
3. SNR 降低會使根號項變小，導致 Q 函數增大，因此誤碼率增加。
4. 本情況屬於 “bit 翻轉” 型錯誤，因此用 BSC。
2）強雨（heavy rain） → 部分 BEC
某些 OFDM symbol 被完全淹沒：
ε ≈ P( SNR_eff < SNR_threshold )
說明：
1. SNR_eff 下降至低於可解碼門檻（SNR_threshold）時，該 symbol 即視為擦除。
2. ε 表示有多少比例的符號被擦除。
3. 雨越大，SNR_eff 低於門檻的機率越高，ε 越大。
4. 這不是 bit 翻轉，而是 “bit 消失”，因此屬於 BEC。
3）暴雨（severe fade） → BEC 接近 1
整段訊框通通消失
ε → 1
C → 0
說明：
1. ε（擦除率）趨近 1，代表幾乎全部符號消失。
2. BEC 的容量公式為 C = 1 − ε，當 ε → 1 時自然 C → 0。
3. 此時通道完全無法承載有效資訊。
________________________________________
🛰 八、ASCII 圖：NTN 雨衰如何讓通道從 BSC → BEC
雨量 ↑
──────────────────────────────────
BSC 過渡區 BEC
(bit flip) (flip + erase) (erase)
小雨 中雨 暴雨
p ↑ p ↑ ε ↑ ε → 1
──────────────────────────────────
說明：
• 小雨：bit 翻轉，通道像 BSC
• 中雨：bit 翻轉 + erasure 混合
• 大雨：直接變成 BEC（訊號不見）
這是 3GPP NTN 正在研究的核心模型。
________________________________________
🧠 九、模擬題
1️⃣ 專業題
請描述 BSC 與 BEC 的差異，並比較兩者的錯誤行為。
📜 答案：
BSC 是「bit 翻轉」，BEC 是「bit 消失」。
BSC 的錯誤行為是隨機錯，BEC 則是遺失符號。
BSC 需要糾錯碼辨識錯誤，BEC 只需填補遺失位置。
________________________________________
2️⃣ 應用題（NTN）
若 NTN downlink 在豪雨時 OFDM symbol 大量無法偵測，此時最符合哪種模型？
A. AWGN
B. BSC
C. BEC
D. Rician fading
🛰 答案：C
因為雨衰讓整段訊號「直接不見」。
________________________________________
3️⃣ 情境題
星鏈在 Ka 頻段遇到中度雨衰，BER 上升但封包仍可辨識，此時通道較像？
A. BSC
B. BEC
C. AWGN
D. 無差別雜訊
📶 答案：A
仍然可解碼，只是 bit flip 增多。
________________________________________
🛠 十、實務演練題
1️⃣ 在不同雨衰係數下模擬 Ka 頻段的 p（BSC 翻轉率）
2️⃣ 計算 ε（BEC 抹除率）隨雨衰的變化
3️⃣ 在 BSC/BEC 下測試 LDPC、Polar code 的性能
4️⃣ LEO link 模擬：從晴天 → 小雨 → 大雨的容量下降曲線
5️⃣ 在 BEC channel 下觀察 OFDM symbol-level erasure pattern
________________________________________
✅ 十一、小結與啟示
✔ BSC：bit flip
✔ BEC：bit 消失
✔ 兩者都是離散通道的基本模型
✔ NTN（Ka/Ku/FSO）雨衰會讓通道從 BSC 演變到 BEC
✔ 雨衰越強 → 翻轉（p）變大 → 抹除（ε）劇增 → 容量接近 0
✔ 用 BSC/BEC 模型能更準確模擬 NTN 真實狀況
✔ LDPC / Polar 是為這類通道設計的最佳武器
一句話：
⭐ BSC/BEC 是「離散通道的物理真面目」，
⭐ 而 NTN 雨衰就是它們的最真實示範。
