📘《AI 時代系列（9）：進階通訊工程——邁向 2035 年太空星鏈網路時代》
📘 第 4周 📈⚡ 訊號煉金術：DSP 與自適應濾波
——通訊基頻處理的核心引擎
32／150 單元：FFT / IFFT ⚡ OFDM 的快速演算法
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若說 5G/6G、Wi-Fi、Starlink、LEO 通訊的基頻靈魂是 OFDM，那麼：
📌 FFT/IFFT 就是讓 OFDM 能夠「真的上線」的魔法引擎。
沒有 FFT
→ OFDM 訊號無法產生
→ 等化無法執行
→ 子載波無法拆解
→ 4G/5G/6G、Wi-Fi 6/7 甚至 Starlink 全都跑不動。
如果說 DSP 是訊號煉金術，
那 FFT 就是煉金術師的魔法陣。
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🎯 單元導讀：為什麼所有 OFDM 都靠 FFT？
OFDM 的核心想法是：
把頻率切成很多狹窄的子載波，每個子載波獨立傳資料。
問題是……
• 子載波數量動輒 1k、2k、4k（5G 可到 4096）
• 需頻域處理
• 若用傳統 DFT，複雜度是 O(N²) —— 不可能即時運算
• FFT 將複雜度降到 O(N log N)
📌 沒有 FFT，就沒有現代 OFDM。
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🧠 一、IFFT：產生 OFDM 訊號的核心
OFDM 發射端在做的事情：
1. 把資料映射到 QAM
2. 放到子載波（頻域）
3. 用 IFFT 把頻域轉回時域
4. 加上 CP（循環字首）
5. 傳送出去
📡 IFFT formula（概念）
x[n] = Σ (X[k] · e^(j2πkn/N))
每個輸出樣本都是所有子載波的疊加。
這正是 OFDM 訊號看起來「很雜亂」的原因。
📌 IFFT = 把子載波組成 OFDM 波形的引擎。
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📡 二、FFT：將 OFDM 訊號拆解回子載波
接收端步驟：
1. 移除 CP
2. 取 FFT
3. 每個 FFT 輸出對應一個子載波
4. 逐子載波等化（H[k]）
5. 做 QAM 判決
FFT 的魔法：
Y[k] = Σ (y[n] · e^(−j2πkn/N))
📌 你不用知道所有子載波，只要取 FFT → 子載波自然「浮現」。
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🌈 三、為何 FFT 對通訊超級重要？
1️⃣ OFDM 產生
• 若不用 FFT： 幾乎無法實現多子載波正交產生
• 用 FFT： 直接用 IFFT 一步完成 OFDM 基帶生成
2️⃣ 子載波等化
• 若不用 FFT： 時域等化極困難、複雜度高
• 用 FFT： 每個子載波變成獨立分量，可逐一等化，難度大幅下降
3️⃣ 多路徑補償（ISI / Convolution）
• 若不用 FFT： 需做時域卷積，複雜且計算量大
• 用 FFT： 卷積在頻域變成「乘法」，大幅簡化
4️⃣ LEO Doppler 補償
• 若不用 FFT： 時域 Doppler 變化複雜、頻偏難估
• 用 FFT： Doppler 近似為子載波相位旋轉，補償更容易
5️⃣ 計算複雜度
• 若不用 FFT： O(N²) —— 大量乘加
• 用 FFT： O(N log N) —— 計算量降到可實作級別
📌 FFT 是把複雜通道 → 分成很多簡單單頻通道的關鍵。
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🛰️ 四、LEO（Starlink）中 FFT 的進階角色
LEO 高速移動造成：
• 極大 Doppler shift（30–100 kHz）
• 高時間選擇性通道
• 嚴重 ICI（子載波間干擾）
FFT 在這裡能做：
✔ 估計 Doppler 造成的頻域偏移
✔ 子載波相位補償
✔ LEO 追蹤（Tracking）
✔ 頻域多路徑等化
📌 Starlink Receiver 幾乎 80% 的處理都在 FFT 領域完成。
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💻 五、ASCII 示意：FFT/IFFT 與 OFDM 全流程
OFDM 產生器（Tx）
資料 bits → QAM → X[k]（頻域）
↓ IFFT
x[n]（時域訊號）
+ CP
↓
傳送
在 OFDM 傳送端中，資料 bits 先經由調變器轉成 QAM 符號，形成頻域上的子載波向量 X[k]。接著透過 IFFT 將所有子載波一次性轉換到時域，得到 OFDM 時域訊號 x[n]。為對抗多路徑延遲，系統會在前方加入循環字首（CP）。完成後的波形再送入射頻前端，正式進入通訊通道傳送。
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OFDM 接收器（Rx）
接收訊號 y[n]
↓ 去 CP
↓ FFT
Y[k]（子載波）
↓ 等化 H*(k)
↓ QAM 判決
資料 bits
在 OFDM 接收端，天線先收到時域訊號 y[n]，接著移除 CP，恢復純粹的 OFDM 符號，再經由 FFT 轉回頻域取得各子載波的接收量測 Y[k]。之後利用通道估計進行等化（例如乘上 H*(k)），還原每個子載波的真正符號，並進入 QAM 判決，最終解出原始的資料 bits。*
📌 FFT = 拆解子載波，IFFT = 組裝子載波。
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🧩 六、模擬題
1️⃣ 專業題
題目：
為什麼 OFDM 必須使用 IFFT 產生訊號，而不是在時域中直接產生 N 個子載波？
答案：
在時域中直接產生 N 個子載波，需要將 N 條正弦波逐一相加，運算複雜度為 O(N²)，且難以保證子載波之間完全正交。
IFFT 則能一次性將頻域子載波 X[k] 轉換成時域訊號 x[n]，將複雜度降為 O(N log N)，並確保子載波之間的正交性，因此是 OFDM 實作的唯一可行方式。
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2️⃣ 應用題
題目：
當 UE 高速移動造成 Doppler shift 時：
FFT 輸出會出現什麼現象？
→ 子載波能量不再集中在原本的頻率 bin，會洩漏到鄰近子載波，形成 ICI（Inter-Carrier Interference）。
這會如何影響子載波？
→ 正交性遭到破壞，各子載波互相干擾，導致 Y[k] 不再是單純的 X[k]·H[k]，使等化器難以處理，最終造成 BER 上升。
如何補償？
→ 在頻域對每個子載波進行 Doppler 相位旋轉補償（如 CFO estimation + correction），
→ 或使用較大 SCS（30/60/120 kHz），
→ 或使用 time-varying equalizer / AI Equalizer 追蹤頻偏。
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3️⃣ 情境題
題目：
基地台 OFDM 系統 BER 偶爾突然升高，但 RSSI 實測穩定。較可能原因為？
答案：
→ FFT/同步問題（而非 RF 功率問題）。
原因：
RSSI 穩定代表 RF 收訊強度沒有異常，功率鏈路正常。
在 OFDM 中，只要同步（CFO/TO）或 FFT 的邊界位置錯誤，就會破壞子載波正交性，產生 ICI，使 BER 突然飆升。
這類問題通常短暫且間歇，與題目描述一致，因此最可能是 FFT/同步相關的誤差。
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🛠 七、實務演練題
1️⃣ 模擬 OFDM + AWGN
• 產生 64-QAM 子載波
• IFFT → 加 CP
• 加 AWGN
• FFT → 等化 → 判決
• 畫出 BER vs SNR 曲線
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2️⃣ Doppler 對 FFT 的影響
• 在 y[n] 中加入 exp(j2πf_d t)
• 用 FFT 觀察子載波能量外溢（ICI）
• 設計頻域 Doppler 補償器
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3️⃣ FFT 與多路徑的頻響
• 模擬 2-path Rayleigh
• 計算 H[k]
• 評估哪些子載波 deep fade
• 設計 ZF/MMSE 等化器比較效果
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✅ 八、小結與啟示
✔ IFFT = OFDM 訊號的製造器
✔ FFT = 子載波的拆解器
✔ 等化永遠在 FFT 後進行（頻域）
✔ 多路徑卷積 → 頻域乘法（更簡單）
✔ FFT 讓 OFDM 變成可用的技術（O(N log N)）
✔ Starlink/LEO、5G/6G 都以 FFT 為核心
📌 一句話記住：
FFT/IFFT 是 OFDM 的心臟，沒有它，無線通訊不可能進化到今天。
