1) 三大微分算子：grad / div / curl / Laplacian
- 梯度 grad(f)=∇f：把純量場變成向量，方向指向「上升最快」。筆記有做例題 f(x,y,z)=x⁴+y⁴+z，直接對 x,y,z 偏微分組成 ∇f。
- 散度 div(𝐕)=∇·𝐕：把向量場變純量，代表「源/匯強度」。筆記例題對 (x+y)²、z²、2yz 分別偏微分後相加。
- 旋度 curl(𝐕)=∇×𝐕：仍是向量，代表局部旋轉；你筆記用行列式展開得到結果（最後只剩 k 方向的項）。
- 拉普拉斯 ∇²f：∇·(∇f)=fₓₓ+fᵧᵧ+fzz；筆記把二階偏微分加總整理出來。
秒答提醒：
- grad：純量→向量
- div：向量→純量
- curl：向量→向量
- ∇²：純量→純量
2) 方向導數：一定要「先單位化」
你筆記把幾何關係寫得很清楚：
- 位置向量 r⃗=⟨x,y,z⟩，微小位移 dr⃗=⟨dx,dy,dz⟩，弧長 ds=|dr⃗|。工數筆記 W2
- 單位切向量 û = dr⃗/ds = ⟨dx/ds, dy/ds, dz/ds⟩（重點：方向需要，但長度不能影響結果）。工數筆記 W2
- 方向導數：Dᵤf = df/ds = ∇f · û = |∇f|cosθ。工數筆記 W2
常見扣分點：題目給的是向量 𝐯，不是單位向量。要先做û = 𝐯/|𝐯|，再算 ∇f·û。你筆記例題也先算 |𝐯| 再單位化。
3) 等位面與法向量：遇到「沿曲面法向量方向」就用 ∇g
筆記有一題是曲面 z=4x²+4y²，改寫成 g(x,y,z)=4x²+4y²−z=0，然後用 ∇g 當法向量。
接著把方向導數做成：Dᵤf = ∇f · (∇g/|∇g|)。
秒用模板（背這句就夠）：
曲面 g(x,y,z)=C 的法向量 = ∇g；沿法向量方向的方向導數 = ∇f·(∇g/|∇g|)。
4) 線積分兩種：∫ f ds 與 ∫ 𝐅·dr⃗ 不能混
你筆記直接把兩種線積分放在同一頁對照：工數筆記 W2
- 純量線積分（沿路徑加權弧長）：∫C f ds
- 重點是 ds：若 r⃗(t)=⟨x(t),y(t),z(t)⟩，則 ds = √((dx/dt)²+(dy/dt)²+(dz/dt)²) dt
- 你的螺旋線例題就是先把 ds 化出來再積分，最後得到弧長公式。工數筆記 W2
- 向量線積分（做功/環流）：∫C 𝐅·dr⃗
- dr⃗=⟨dx,dy,dz⟩，所以 𝐅·dr⃗ = P dx + Q dy + R dz（或用參數 t 全換成 dt）
- 你筆記用同一向量場、不同路徑 C₁/C₂ 算出不同結果，強調「路徑會影響」。工數筆記 W2
5) 高斯散度定理：把「封閉曲面通量」換成「體積積分」
筆記把散度定理用小立方體推導直覺：對 x 面、y 面、z 面的通量相加，變成 (∂Fₓ/∂x+∂Fᵧ/∂y+∂Fz/∂z) dV，最後得到：
- ∬S 𝐅·n̂ dA = ∭D (∇·𝐅) dV 工數筆記 W2
並且在球體例題中，先算 ∇·𝐅=3，再用球座標把 ∭3 dV 算成 4π。工數筆記 W2
秒答提醒：
- S 必須是封閉曲面（closed surface），外法向量 n̂ 指向外
- 能算散度就別硬算曲面積分：通常體積積分更快
