RM的趣味數學世界002:神奇的魔方陣

小賢有一天他去台中科學博物館參觀，在入口處的左邊他發現有一個東西很奇怪叫做洛圖（或稱洛書）如圖一

當他仔細觀察這個圖時，發現這個圖好像跟我們稱為三階魔方陣的圖很像，如圖二。

於是他看解說牌，知道原來中國人早在西元前二十三世紀前後，也就是大禹治水之時，大禹在洛水這條河發現有一隻神龜，在這隻神龜的龜殼上刻記著這個圖，所以才會以洛圖或洛書稱之。因此小賢有點得意，因為他又知道一個中國領先西方世界的東西，雖然他一直以為這個東西是西方人發明的。親愛的讀者你是否也和小賢一樣曾很自卑的以為任何東西都是西方發明的，其實並不然，很多東西其實都是中國人發明的，只是最後都被西方人發揚光大。

現在讓我們一起和小賢來研究一下這個洛圖，小賢觀察了很久，發現原來這個圖的每一列、每一行或是對角線的數字和都是15，分別是

這時小賢就在想，這個圖是唯一的一種表示法嗎？小賢在拿出紙筆開始劃格子，並依序填上數字，當他填完後，如圖3。他比對一下發現和原來的排法不一樣，他就很高興，可是當他將紙逆時針轉九十度後，發現跟原來的圖一樣，最後小賢一共找出看起來不同的八種洛圖，但是這八種其實都可以經過旋轉或翻轉成一樣的洛圖，所以嚴格地說只有一種洛圖，不然可能一個龜殼都劃不完。

最後小賢在想為什麼是加起來等於15，而不是14 或16呢？這時小珊剛好也到科博館玩，當他看到小賢在沉思，他就走到小賢身邊說：「你在想什麼啊！」小賢有點驚呀和不好意思的說：「沒有啦！我在想這個圖的每一列、每一行和對角線為什麼加起來都等於15，而不是14 或16？」小珊看了一下就說：「沒想到這麼簡單的問題把你這位數學小天才給難倒了，這裡總共有九個數，加起來是45分成三行或三列，所以用45除以3就可以知道每一列或每一行是15。」小賢這是才恍然大悟：「喔！原來是這樣算出來的。」

這時小賢就開始想，那如果是四階的魔方陣呢？每一列、每一行和對角線的和應該是多少呢？要怎麼排出來呢？親愛的讀者一起來和小賢動動腦吧！

解答：

四階的魔方陣有十六格，所以全部數字的總和為1 + 2 + … + 16 = 136。因此每一列、每一行和對角線的和應該是136 ÷ 4 = 34。他的排法則有很多種，介紹一種排法，這個方法叫做井字法，它適用於建構階數為四的倍數之魔方陣，假設階數為 。則建構步驟如下：

（一）先把1至(n平方)從左上角依序填入方陣內 。

（二）用兩條直線和兩條橫線將方陣分隔成四個角落各有一個n/4 階的小方陣和在中心位置有一個 n/2階的小方陣。

（三）以方陣的中心點為對稱點，將步驟（二）的五個小方陣方格內的數作對稱交換，五個小方陣以外的數則不要動，這樣所建構的魔方陣是對稱的。（此步驟也可看成將步驟（二）所擦掉的數依大小順序由大的數開始從第一列左邊填入，第一列填完換第二列，依序完成整個方陣。）

以建構四階魔方陣為例過程如圖所示。

四階魔方陣

四階魔方陣總共有880種，你能通通找出來嗎？

圖一圖片來源: 由 AnonMoos - 自己的作品 - Made by self from scratch, following layout of PD image Luo4shu1.jpg., 公有領域, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=8888999

註:筆者有一本著作專門討論魔方陣,若讀者有興趣可以去圖書館借來看(已經絕版了)