上古漢語的邏輯結構 049

1.0 從函數到函算語法

1.3 弗雷格的函數概念

四

有了上述的區分，我們便要承認「2」﹑「1＋1」﹑「3－1」﹑「6/3」有同一指謂。

思考一下  6/3。

6/3 是什麼﹖

有人可能說，是個商數。但  6/3  的商數是什麼﹖這時我們會說，6/3 的商數就是乘予 3 而得出 6 的那個數。注意，我們說「那個數」，不是「一個數」或「某個數」，也就是說，6/3  的商數只有單一的一個數。

譬如我們有

1.3_3 (1＋1)＋(1＋1)＋(1＋1)＝6

因此 1＋1 就是「6/3」指稱的那個數。不同的表式對應不同的觀念和方面，然而總是對應同一個東西。若此為事實，下述一類的表式如

1.3_4 2．1³＋2 ,

1.3_5           2．2³＋2 ,

1.3_6           2．3³＋2 …

都指稱數，即分別指稱 4﹑18﹑132  (都是數﹗)。

正因為算式的指謂 (或指稱) 是數，我們起碼解決了一個問題﹕函數不可能是算式的指謂。

因為如果函數是算式的指謂 (即算式指謂函數)，函數便是數，但函數不是數﹔譬如「2．1³＋2」和「5－1」有相同的數值，但「2．x³＋2」和「5－x」卻不是同一個函數。

有說函數是一個包含字母「x」的表式，而「x」代表一個不確定的數﹔這樣說，函數也是個不確定的數，但一個函數和函數內的「x」便變得缺乏根本上的區別了。我們同樣可以用「x」來指謂該函數要代表的那個不確定的數。弗雷格認為一個函數和該函數內的「x」有根本上的區別，而兩者的區別恰恰來自「x」指謂一個不確定的數這樣的一個事實。

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待續