📘 《AI 時代系列（6）：進階通訊工程——邁向2035年太空星鏈網路時代》
8/100 第一週：📌 🌐 破解通訊世界的語言：AI × 通訊的數學底層
8. 平寬平穩、白噪聲、窄帶 📡 三大噪聲模型
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🎯 單元導讀
—— 看懂噪聲，才算真正踏進通訊工程的大門
所有通訊系統的問題，最終都可以追溯到同一件事：噪聲（Noise）如何汙染訊號。
你若無法理解噪聲，就無法設計接收機、無法做通道估測、無法最佳化 OFDM 或 MIMO，更無法讓 AI Receiver 做到真正的「智慧解碼」。
因此，本單元帶你從根本開始，掌握通訊工程最基礎、也最關鍵的三種噪聲模型：
平寬平穩（WSS）、白噪聲、窄帶噪聲。
這三種噪聲不只出現在教科書，也深刻影響每一個實際的無線場景——
從高鐵、都市多路徑、基地台間干擾、到 6G AI-native 接收機的 Loss 設計，全都躲不過它們的支配。
接下來的內容會讓你真正理解：
噪聲如何改變訊號、如何破壞正交性、如何降低 SINR、如何讓 BER 飆升、以及 AI 是如何把噪聲模型融入訓練資料、Loss 函數與偵測器設計中。
📌本單元的核心目標只有一句話：
掌握噪聲模型，你才能開始真正「設計通訊系統」。
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🧠 一、平寬平穩：Wide-Sense Stationary（WSS）
一個隨機過程 X(t) 成為 WSS，需要：
✔ (1) 均值不隨時間改變
E[X(t)]=μ
✔ (2) 自相關只與時間差 τ 有關
RX(t1,t2)=RX(τ)
這意味著：
🔸 噪聲行為在不同時間具有一致性
🔸 系統能用時間平均來估計統計量（ergodicity）
🔸 設計濾波器、通道估測、等化器會簡單得多
AWGN 就是 WSS。
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🧠 二、白噪聲（White Noise）
白噪聲的概念來自「白光」：
👉 白光的每個頻率都有相同能量
👉 白噪聲在「所有頻率」能量都均等分佈
數學定義（功率譜密度 PSD）：
Sₙ(f) = N₀ / 2這表示：
白噪聲 = 頻率能量完全平坦的噪聲，就像白光 = 各種顏色（頻率）平均混合。
• 所有頻率的 PSD 都相同
• 完全不相關（no correlation）
• 時域上有 delta function 自相關：
Rₙ(τ) = (N₀ / 2) · δ(τ)
這條式子表示：「白噪聲的任兩個時間點之間沒有任何相關性」。
自相關 Rₙ(τ) 描述的是噪聲在時間差 τ 下的關聯程度，而白噪聲的功率譜密度為常數（N₀/2），其傅立葉反轉換就是 δ(τ)。因此，只有在 τ = 0（同一瞬間）自相關才有值，其大小為 N₀/2；在所有 τ ≠ 0 時，自相關為 0。
換句話說，白噪聲在時間上完全獨立，是沒有記憶的隨機過程。
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✔ 為什麼通訊系統超愛白噪聲模型？
因為白噪聲很容易分析！
舉例：
ML 接收機（Maximum Likelihood）
若 n(t) 是白噪聲
→ ML 推導會變成最小化內積
→ MIMO、OFDM 濾波變簡單
→ BER 有封閉解
Channel Estimation
AWGN → pilot 回傳簡潔
→ estimator 有最小 variance
📌 白噪聲 = 通訊工程「最友善」的噪聲
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🧠 三、窄帶噪聲（Narrowband Noise）
窄帶噪聲代表噪聲的能量只集中在某一小段頻帶。例如：
• 一台機器的電磁干擾集中在 1.2GHz ± 30 kHz
• 鄰近小區基地台對某些 subcarriers 造成干擾 (ICI)
• Wi-Fi 等系統造成的頻段干擾
其 PSD 會長這樣：
S_n(f)
^
| ****
| ** **
| ** ** ← 集中在窄頻帶
| __**__ __**
+--------------------------> f
數學描述：
S_n(f) = N₀ ，當 f ∈[f₀–B, f₀+B]
S_n(f) = 0 ，當 f 不在上述區間
其中：
f₀ = 噪聲中心頻率
B = 窄帶寬度（half-bandwidth）
N₀ = 該頻帶中的噪聲功率密度
這個 PSD 表示噪聲的能量不是像白噪聲那樣平均分佈，而是集中在某個中心頻率 f₀ 附近的窄頻區間 [f₀–B, f₀+B]。在這個頻帶內，噪聲強度為 N₀，而在其他頻率則幾乎沒有能量。這種「窄頻噪聲」常用來模擬各種實際干擾，例如鄰頻干擾、窄頻 jamming、或者特定 RF 裝置的雜散訊號。
📌 這種噪聲在 OFDM、MIMO、CBRS、HetNet 中超級常見！
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📡 通訊中三種噪聲的用途比較
1️⃣ WSS（Wide-Sense Stationary）廣義平穩噪聲
用途：
• 理論建模
• LTI 濾波器分析
• 自相關 / PSD 基礎推導
優點：
• 數學推導好用（只需均值與自相關）
• 適合研究任意通道中噪聲的「平穩化行為」
缺點：
• WSS 只是平穩性假設，不等於白噪聲
• 不能直接用來代表頻率均勻分布的噪聲
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2️⃣ 白噪聲（White Noise）
用途：
• AWGN 系統
• ML / MAP 偵測
• MMSE 通道估測
• BER 理論分析（closed-form）
優點：
• 功率在所有頻率相等 → 最容易分析
• 使 ML 等價於「最小平方誤差」
• 能推導出漂亮的封閉解（Q-function、BER、容量）
缺點：
• 完全平坦的 PSD 不符合所有真實通道
• 實際無線環境中常會被 fading、干擾破壞
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3️⃣ 窄帶噪聲（Narrowband Noise）
用途：
• OFDM 子載波干擾（ICI）
• 鄰頻干擾（Adjacent Channel Interference）
• Jamming、雜散（spurious）
• 特定頻帶污染分析
優點：
• 更貼近真實 RF 干擾
• 能描述「集中在某些頻率」的噪聲現象
缺點：
• 數學分析困難（PSD 非常不平坦）
• 需要額外濾波器、等化器、OFDM 保護間隔等手段
• 無法得到 AWGN 那種漂亮的封閉式解
⭐ 一句話總結
WSS 是最一般的理論模型、白噪聲最好分析、窄帶噪聲最貼近真實但最麻煩。
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💻 四、ASCII 圖示：噪聲模型比較
🌊 ① WSS（Wide-Sense Stationary）平寬平穩噪聲
X(t): ~~~~----~~~~----~~~~
（統計特性穩定）
WSS 噪聲的平均值固定，自相關只與時間差 τ 有關。
雖然訊號上下波動，但整體統計性質「不隨時間改變」。
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⚪ ② 白噪聲（White Noise）
PSD:
|□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□| ← 完全平坦（所有頻率能量相同）
白噪聲的頻譜是平坦的，表示能量均勻分布於所有頻率。
是 AWGN 模型的基礎，數學分析最簡單。
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🎯 ③ 窄帶噪聲（Narrowband Noise）
PSD:
| ◇◇◇◇◇◇ |________________|
↑ 能量集中在窄頻帶
窄帶噪聲只在特定頻帶出現一小段能量「凸起」，其他頻率幾乎沒有干擾。
最符合現場真實干擾（例如 Wi-Fi、雷達、鄰區干擾）。
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🧩 五、模擬題
**1️⃣ 專業題
白噪聲與 WSS 噪聲的差別是什麼？哪一種更強？**
⚪ 白噪聲（White Noise）
• 功率譜密度（PSD）在所有頻率完全平坦
• 是 WSS 的「特例」
• 時域自相關：Rₙ(τ) = (N₀ / 2) × δ(τ)
• 代表能量在全頻帶平均分布
🌊WSS（Wide-Sense Stationary）噪聲
• 僅要求：
1. 平均值不變
2. 自相關只與 τ 有關
• 但 PSD 不一定平坦
• 可包含白噪聲、窄帶噪聲等更廣泛的情況
🟦 哪一個更強？
取決於 PSD。
若「同樣的總功率」分布：
👉 白噪聲：每個頻率能量變弱（因為均勻分布）
👉 窄帶/WSS 噪聲：某些頻率能量更強（因集中）
白噪聲不一定比較強，它只是分布比較平均。
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**2️⃣ 應用題
若 OFDM 的部分子載波受到固定頻率的干擾，這屬於哪種噪聲？應如何改善？**
🎯 這是 窄帶噪聲（Narrowband Interference），又稱 narrowband jammer。
因為：
• 干擾只集中在某些特定頻率
• 只破壞部分 subcarriers
• 不影響整個頻譜
🟦 改善方法（電信工程師常用）：
✔ 子載波封鎖（subcarrier nulling）
對受干擾的子載波不傳資料。
✔ 頻率跳躍 / 調度（Frequency Scheduling）
排程 UE 到沒受干擾的子載波。
✔ 自動頻率分配（AFA）
RAN 根據干擾狀況調整頻率配置。
✔ 提高功率（Power boosting）
只對中性的 subcarrier 提升發射功率。
✔ MMSE 等等干擾消除接收器
利用通道估測矩陣抵銷干擾。
✔ 增加子載波間隔（6G/FR3）
能提高抗窄帶干擾能力。
窄頻干擾 → 用排程避開它，或用接收器抑制它。
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**3️⃣ 情境題
UE 回報：「訊號強度正常，但速率突然掉很多。」
現場量測發現只有某幾個 subcarriers SNR 急劇下降。
這是？
正確答案： 🎯 窄帶干擾
🟦 原因
• RSSI 或 RSRP 不變 → 整體功率沒變
• 但速率下降 → 某些 subcarriers 無法使用
• 只有少數 subcarriers SNR 掉 → 特定頻率受攻擊
符合典型 narrowband interference 特性：
⭐「訊號看起來夠強，但其中部分頻帶被打爛。」
⭐ OFDM 的 throughput 正比可用 subcarriers 數量。
🟦 其他選項為何錯？
A. 噪聲變白
→ 白噪聲會影響所有頻率，不會只壞特定 subcarriers。
C. 通道統計變動
→ Rayleigh 通道變動會全頻帶波動，不會固定壞同一群 subcarriers。
D. 雜訊不再 WSS
→ 非 WSS 不會造成「固定頻率」下降，而是時間變化強。
🟦 一句話結論
只有部分 subcarriers SNR 掉 = 絕對是窄頻干擾。
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🛠 六、實務演練題
1️⃣ 白噪聲與窄帶噪聲比較
• 建立 OFDM 系統
• 加入 AWGN
• 加入窄帶噪聲（固定頻帶）
• 比較 BER
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2️⃣ 計算 WSS 自相關函數
• 建立 WSS 過程
• 計算 R(τ)
• 驗證 R 只與 τ 有關，而不是兩個時間點 t1,t2
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3️⃣ 窄帶干擾濾除
• 建立窄帶噪聲
• 設計 band-stop filter
• 測試濾除效果
• 比較前後 SINR
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✅ 七、小結與啟示
✔ WSS：均值固定，自相關只看 τ → 理論最常用
✔ 白噪聲：所有頻率能量一樣 → ML/MMSE 最容易推導
✔ 窄帶噪聲：能量集中 → OFDM/MIMO 實際系統最常遇到
✔ 現代通訊（尤其 5G/6G）要能處理三者
👉 一句話總結：噪聲不是「敵人」，而是通訊工程中最重要的「真實世界模型」。
