📘《AI 時代系列（6）：進階通訊工程——邁向 2035 年太空星鏈網路時代》
📘 第 4周 📈⚡ 訊號煉金術：DSP 與自適應濾波
——通訊基頻處理的核心引擎
33／150 單元：FIR / IIR 濾波器 🔧 訊號清潔工具
________________________________________
無論你是在做：
• LTE/5G/6G 基頻處理
• 通道估測前的平滑
• 去除干擾（Narrowband Interference）
• 基站接收端低通濾波
• Starlink / NTN Doppler 前置補償
你一定會看到這兩個名字：
⭐ FIR —— Finite Impulse Response（有限脈衝響應）
⭐ IIR —— Infinite Impulse Response（無限脈衝響應）
這兩種濾波器，就像通訊工程師的「訊號清潔工具組」：
📌 FIR：乾淨、穩定、不會亂來
📌 IIR：強大、高效、但要小心失控
________________________________________
🎯 單元導讀：為什麼通訊系統一定需要濾波器？
通訊訊號永遠面對敵人：
• 雜訊（AWGN）
• 窄帶干擾（NBI）
• 多路徑後的抖動
• 頻率偏移
• LEO 高速移動 Doppler
• 取樣後的 aliasing
• DAC/ADC 前後的頻譜污染
📌 濾波器的使命只有一個：
把你不要的頻率丟掉，保留你要的訊號。
這就是 FIR / IIR 存在的理由。
________________________________________
🧠 一、FIR 濾波器 — 最乾淨、安全的濾波方式
FIR 的公式
y[n] = Σ (b[k] · x[n − k])
此式表示 有限脈衝響應（FIR, Finite Impulse Response）濾波器 的 離散時間卷積運算：
y[n]：
表示輸出訊號在時間索引 n 的取樣值。
x[n − k]：
表示輸入訊號的延遲樣本，反映系統對過去輸入的「記憶效應」。
b[k]：
表示第 k 個濾波器係數（tap weight），用以決定濾波器的頻率響應特性。
M + 1：
表示濾波器的 tap 數（階數），對應系統所使用的有限記憶長度。
核心意義（重點一句話）：
FIR 濾波器透過對有限個過去輸入樣本進行加權求和，實現線性時不變系統的頻率選擇特性。
只由輸入的加權組合構成，沒有回授項，因此屬於純前向、天然穩定的濾波器。
這意味著：
✔ 一定穩定（永不爆炸）
✔ 線性相位可設計
✔ 適合 OFDM、通道估測、前端濾波
📌 FIR 的主要特性與優點
1️⃣ 無回授（Feedforward 結構）
• 沒有迴授環路
• 天然絕對穩定（不會像 IIR 出現極點不穩定問題）
2️⃣ 可設計線性相位
• FIR 可輕鬆實現 線性相位響應
• 不會造成 OFDM 子載波間的相位扭曲
• 適合通訊系統要求的「相位不失真」濾波器
3️⃣ 運算量較大
• FIR 較 IIR 需要更多 tap、更多乘加
• 可透過 FFT/Overlap-Add/Overlap-Save 方式加速
• 在 RAN / DSP / Baseband 中非常常見
4️⃣ 適用於寬頻濾波
• 高抽頭數適合高頻／寬頻條件
• 5G、6G、Massive MIMO、LEO NTN 鏈路都常使用 FIR
FIR 在通訊中的使用場景
✔ OFDM 子載波前端 LPF
✔ ADC 後 Anti-aliasing
✔ 時域均衡器（TEQ）
✔ 時頻分析前的整平
✔ 移動平均（估 RSSI）
________________________________________
🧠 二、IIR 濾波器 — 小運算量但強大的回授濾波
IIR 的公式
y[n] = Σ(b[k] · x[n − k]) + Σ(a[m] · y[n − m])
這個差分方程描述了一般 IIR（Infinite Impulse Response）數位濾波器 的運作方式。輸出 y[n] 由兩部分組成：第一項 Σ(b[k]·x[n−k]) 是輸入訊號經過前向權重 b[k] 的加權和，代表「外來輸入」對輸出的影響；第二項 Σ(a[m]·y[n−m]) 則是先前輸出再回授到系統的加權和，表示「過去輸出」也參與形成新的輸出。因為具有回授項，因此濾波器的脈衝響應可能是無限長，並需特別注意系統穩定性。
特性：
✔ 運算量小
✔ 頻率反應更「銳利」
✔ 但可能不穩定
IIR 就像「技術強但脾氣差」的濾波器：
📌 一旦設計不當 → 震盪、發散、失控。
IIR 適用場景
✔ 窄帶干擾（NBI）抑制
✔ LEO Doppler 頻率追蹤
✔ 低階 LPF / HPF
✔ 模擬類比濾波更接近真實
________________________________________
🌈 三、FIR vs IIR —— 工程師最重要的比較表
FIR 與 IIR 的差異對通訊工程至關重要。FIR 因沒有回授，永遠穩定且能實現線性相位，非常適合對相位敏感的 OFDM 系統；缺點是運算量較高，但在現代 DSP 與 FFT 加速下已不再是瓶頸。相對地，IIR 可用較少運算達成濾波效果，但因具回授而可能不穩定，且相位響應非線性，容易扭曲 QAM 星座，因此不適用於 OFDM 類型的線性相位要求情境。
📌 OFDM、5G、6G → 幾乎都選 FIR
📌 LEO Doppler tracking → IIR 有優勢
________________________________________
💻 四、ASCII 圖示：FIR/IIR 的訊號流
FIR：Feedforward only
x[n] → ○── b0 ──►
│
├── b1 ──►
│
└── b2 ──► → y[n]（安全、線性相位）
這個 FIR 結構是純前向（feedforward）加權相加：輸入 x[n] 經過多個不同係數的分支（b0、b1、b2…）各自乘上延遲後的訊號，再在輸出端相加形成 y[n]，中間沒有任何從 y[n] 回接的回授路徑，因此系統天然穩定，且可設計成線性相位，非常適合作為 OFDM 等通訊系統中的「安全濾波器」。
________________________________________
IIR：Feedforward + Feedback（危險但強大）
x[n] → ○── b0 ─→►
│ │
└── b1 ─→► │
▼
+--------+
| y[n] |
+--------+
▲
a1 ◄────┘ （不慎會發散）
這個 IIR 結構同時包含前向分支與回授路徑：輸入 x[n] 先經由 b0、b1 等前向係數形成初步加權，再送入輸出節點 y[n]；同時，y[n] 又透過 a1 等回授係數回流到系統內，使新的輸出不僅依賴輸入，也依賴過去的輸出。正因為這種 feedback，IIR 能以較少運算達到強大的濾波能力，但若回授係數選得不當，系統可能發散，成為「強大但危險」的濾波器類型。
________________________________________
🧩 五、模擬題
1️⃣ 專業題
OFDM 系統中，為什麼前端濾波器通常選用 FIR 而非 IIR？
答：
OFDM 對相位極度敏感，只需微小相位扭曲就會破壞 QAM 星座與子載波正交性。IIR 具有非線性相位與回授結構，容易造成相位畸變甚至不穩定；相反地，FIR 天然穩定且能設計為線性相位，可確保 OFDM 子載波相位不受扭曲，因此成為前端濾波的標準選擇。
________________________________________
2️⃣ 應用題
基地台收到窄帶干擾（NBI）時，哪種濾波器更適合？為什麼？
答：
→ 適合使用 FIR 濾波器。
原因：
窄帶干擾需要精準控制濾波器的停止帶位置與形狀，避免破壞鄰近子載波的相位。FIR 可在寬頻或窄帶下設計成高精度的頻率響應，且維持線性相位，不會扭曲 OFDM 信號結構。反之，IIR 的非線性相位容易使鄰近子載波旋轉、星座變形，造成額外 BER。
________________________________________
3️⃣ 情境題
基站接收端偶爾出現「訊號震盪」或「數值暴走」，工程師應優先檢查哪一種濾波器？為什麼？
答：
→ 優先檢查 IIR 濾波器。
理由：
震盪、暴走是典型「回授不穩定」的現象，而 IIR 濾波器含有回授項，一旦係數設計不當、量化誤差或時序漂移，極易造成系統不穩定或輸出發散。FIR 是純前向結構，不會產生震盪，因此不會引發這類問題。
________________________________________
🛠 六、實務演練題（MATLAB / Python）
1️⃣ 設計 50 taps 的低通 FIR
• 串 OFDM 64-QAM 訊號
• 檢查通帶/阻帶性能
• 比較「線性相位 vs 非線性相位」差異
________________________________________
2️⃣ 設計一個 2 阶 IIR notch filter 去除 1 kHz NBI
• 加入雜訊（AWGN）
• 加入窄帶干擾
• 觀察頻譜
• 使用 IIR 濾除後比較效果
________________________________________
3️⃣ 模擬 IIR 穩定度
• 設不同 a₁、a₂
• 若 |pole| > 1 → 震盪
• 劃出系統反應
________________________________________
✅ 七、小結與啟示
✔ FIR：安全、線性相位、適合 OFDM
✔ IIR：高效、強大、但可能不穩定
✔ FIR 用於基頻與通道估測
✔ IIR 用於窄帶干擾消除、Doppler tracking
✔ DSP 中 80% 清潔訊號的工作都靠這兩種濾波器
📌 一句話記住：
FIR 是穩定的掃地機器人，IIR 是會暴衝但能快速清潔的吸塵器。
