經典應用題 階乘的尾巴有幾個零 Leetcode #172

閱讀時間約 2 分鐘
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這題的題目在這裡:

題目敘述

題目會給定我們一個n值,問我們n! 也就是n階乘 尾巴的零有多少個?

例如n=5 就是代表5! = 5x4x3x2x1=120 尾巴有一個零,回傳1


測試範例

Example 1:

Input: n = 3
Output: 0
Explanation: 3! = 6, no trailing zero.

Example 2:

Input: n = 5
Output: 1
Explanation: 5! = 120, one trailing zero.

Example 3:

Input: n = 0
Output: 0

約束條件

Constraints:

  • 0 <= n <= 104

 Follow up: Could you write a solution that works in logarithmic time complexity?


演算法:

除了平鋪直敘,直接相乘的模擬法之外;還有一個比較高效率O( log n) 的數學分析演算法。

尾巴的零來自於乘以10有幾個? 相當於 乘以2乘以五幾次?

n! = n * n-1 * ... * 1 = 2^i * 5^j * 其他質因數

觀察階乘的規律可以知道,5出現的次數一定小於等於2出現的次數,所以零的數目由5的次方數決定。

若階乘中有5出現一次,則尾巴有一個零。

若階乘中有5出現兩次,則尾巴有兩個零。

...

若階乘中有5出現k次,則尾巴有k個零。

所以我們只要把n拿去除以五,數數看5出現幾次,就知道n!尾巴有幾個零


程式碼

class Solution:
 def trailingZeroes(self, n: int) -> int:
  
  if n == 0:
   # Base case
   return 0
  
  else:
   # Inductive step
   return ( n//5 + self.trailingZeroes(n//5) )

複雜度分析

時間複雜度:

O( log n )
n 反覆除以5,最多耗費O( log n ) 步可以降階到終止條件 n == 0。

空間複雜度:

O( log n )
n 反覆除以5,最多耗費O( log n ) 步可以降階到終止條件 n == 0。

也是遞迴函數呼叫stack最大深度。


關鍵知識點

在於觀察幾個小範例,發現n! 尾巴零的個數 = 乘以10 幾次 = x 2 x 5 幾次

=> 5出現的次數一定小於等於2出現的次數,所以零的數目由5的次方數決定


Reference:

[1] Python/JS/Go/C++ solution with O( log N ) [w/ Hint] - Factorial Trailing Zeroes - LeetCode

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由有業界實戰經驗的演算法工程師, 手把手教你建立解題的框架, 一步步寫出高效、清晰易懂的解題答案。 著重在讓讀者啟發思考、理解演算法,熟悉常見的演算法模板。 深入淺出地介紹題目背後所使用的演算法意義,融會貫通演算法與資料結構的應用。 在幾個經典的題目融入一道題目的多種解法,或者同一招解不同的題目,擴展廣度,並加深印象。
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題目會給定一組已經規定好的介面interface,要求我們實作HashSet這種資料結構。也就是一般數學和程式語言中所說的"集合"。
題目會給我們兩條已經從小到大排序好的串列,要求我們依照從小到大的順序,合併這兩條串列。
題目會給定一組輸入陣列,裡面每個參數分別代表矩陣的寬和高。 如果有兩個矩陣的寬/高的比例是相同的,代表這兩個矩陣是等比例的。 要求我們計算,等比例的矩陣pair總共有多少個?
題目會給定我們一個輸入陣列,要求我們計算好配對的數目有多少個? 好配對的定義: 兩個數字相同,但是陣列索引一個在前,一個在後。 nums[i] == nums[j] and i < j. 這樣 (i, j) 就稱為一組好配對。
題目會給定我們一個陣列和參數k,要求我們將陣列右旋k次,然後輸出內容。 例如[1,2,3,4,5] 右旋 2次,輸出就是[4,5,1,2,3]
題目會給定我們一個陣列,要求我們找出裡面統計最多出現次數的偶數 。 假如有兩個偶數出現的次數一樣多,取最數字比較小的那個最為答案。
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