決鬥問題（條件機率）

在魔法競技場上，每位決鬥者都有三個神奇輪盤可以使用。

輪盤A總是召喚等級三的漢堡怪(100%)。

輪盤B召喚的吐司怪，有60%的機會是等級二、20%的機會是等級四、20%的機會是等級六。

輪盤C召喚的貝果怪，有49%的機會是等級五、有51%的機會是等級一。

無論怪物的品種或名稱，戰鬥過程僅靠等級決勝負，等級高的必勝等級低的。

題目一

第一輪的戰鬥中，你將面對一名對手。

你可以優先選擇輪盤，對手再從剩下的輪盤中擇勝算較大的輪盤使用，召喚出較高等級的手下者獲勝。

你該選擇哪一種輪盤，勝算會最大呢？

題目二

第二輪的戰鬥中，你將同時面對兩名對手。

一樣由你先選輪盤，對手再分別使用剩下的輪盤，召喚出最高等級的手下者獲勝。

你該選擇哪一種輪盤，勝算會最大呢？

歡迎在留言區留下計算過程或想法：）

非常感謝Unclebigrun 跑大叔在留言區提供期望值的思考方向。

也感謝打卡簽到的林燃（創作小說家）與按愛心的各位：）

後來想到了，期望值比較屬於隨機選擇之後的平均值，也就是說「你」和「對手」真的都是隨機選擇，經過幾千幾萬場之後，結果會趨近的值。

不過條件機率有摻入一點點決策判斷，和期望值有小小不同。

底下提供本咚的思考方式，不敢說是「正解」，只是另一種參考方向而已。

條件機率

簡單來說就是把全部的可能用樹狀圖列舉出來，再分別計算機率。

為了不搞混，以下將區分成「你」和「對手」，而且一律以「你」的勝率來考量。

題目一

• 如果你選Ａ
  對手若選Ｂ，則你有６０％機率獲勝，４０％機率失敗。
  對手若選Ｃ，則你有５１％機率獲勝，４９％機率失敗。

由於題目一的前提是：你優先選擇輪盤，對手由剩下輪盤中選擇勝算較大的輪盤使用。

（也就是對手一定會選擇『你的勝率最低』的情況，有點納什均衡的意思。）

當你選擇Ａ輪盤，對手為了選擇較高的勝率，只能選擇Ｃ。

所以選擇Ａ的勝率為５１％。

• 如果你選Ｂ，對手選Ａ，則你有４０％機會獲勝（召喚等級4或6），６０％機會失敗（召喚等級2）。
  光是看到這個情況，如果你選Ｂ，對手再選Ａ，你的勝率就只有４０％。
• 如果你選Ｂ，對手選Ｃ，你要贏有以下兩種情況
  1.你召喚出等級２或等級４，對手召喚出等級１，機率＝(0.6+0.2)×0.51=0.408
  2.你召喚出等級６則必勝，機率=0.2

所以你的勝率=0.408+0.2=0.608=60.8%。

於是，對手為了選擇較高的勝率，會選擇Ａ，所以選擇Ｂ的勝率為４０％。

• 如果你選Ｃ，對手選Ａ，則你有４９％機率獲勝，５１％機率失敗。
  （其實就是選Ａ情況的相反）
  也就是說，如果你選Ｃ，對手再選Ａ，你的勝率就只有４９％。
• 如果你選Ｃ，對手選Ｂ，不用再重新列舉一次，勝率直接=1-0.608=0.392=39.2%。
  （就是你選Ｂ，對手選Ｃ結果的相反）

那麼如果你選Ｃ，對手會很樂意的選擇Ｂ，你的勝率就只有39.2%。

因此，第一輪用條件機率來看，最合適的選擇會是Ａ輪盤。

這個結果滿奇妙的，有點像是「一對一單挑的時候，需要以不變應萬變」

題目二

要同時面對兩個對手，機率的計算方式會變得截然不同。

在題目一裡面是要分別列出每個情況。

題目二則是要努力成為『最大』。

• 如果你選Ａ，成為最大的情況是：Ｂ召喚出等級２，且Ｃ召喚出等級１
  機率=0.6×51=0.306=30.6%。
• 如果你選Ｂ，成為最大的情況是
  1.你召喚出等級４，且Ｃ召喚出等級１，機率＝0.2×0.51=0.102
  2.你召喚出等級６，則必勝，機率=0.2
  合計機率=0.102+0.2=0.302=30.2%。
• 如果你選Ｃ，成為最大的情況是：你召喚出等級５，對方不能召喚等級６。
  機率=0.49×(1-0.2)=0.392=39.2%。

因此，題目二當中，勝率最高的應選Ｃ輪盤，這個結果就和期望值相同，因為三個輪盤都會上場，不會有選擇性的問題。