上古漢語的邏輯結構 035

1.0 從函數到函算語法

1.2 函數概念小史

• 1.2.1 中譯的來源
• 1.2.2 一個速度問題
• 1.2.3 幾何的方法
• 1.2.4 微積分的記法
• 1.2.5 弦的振動

四

在這個背景下，法國物理學家達朗貝爾 (見貼文 32) 是論爭成員中發表振動弦運動的第一人，因此也是將這論爭記入歷史的第一人。1746年，特朗貝爾導出了所謂的「波動方程」﹕³⁴

並為這個偏微分方程建構了一個包含兩個任意函數 f 和 g 的通解﹕

引入邊界條件 y (0, t)＝y (l, t)  後，特朗貝爾將其通解歸約為

特朗貝爾嚴格規範弦的初始形狀，認為在缺乏這類規範的情況下，數學分析對振動弦難題為無解﹔其中之一的規範為假設了該弦必須連續，即同一等式必須全程表示弦的初始形狀。歐拉熟悉特朗貝爾有關振動弦的工作，亦認同他在這方面使用的整體的方法，但歐拉卻導出「另一個」偏微分方程

並找出其解為

引入邊界條件後得出

歐拉聲稱他的才是「最通解」，特朗貝爾的不是﹔特朗貝爾不同意。表面上，歐拉和特朗貝爾關於振動弦的爭議在於誰的解才是通解或最通解，但事實上，埋下「禍根」的是歐拉對函數的理解。在一點上，歐拉有別於特朗貝爾，就是對函數的具體要求。歐拉認為單從初始條件便可以推導出 f﹕如果 Y (x) 和 V (x) 為弦的初始位置和速度，那麼

[Wheeler & Crummett 1987: 34]

這說出了什麼呢﹖

__________

³⁴ 這個等式在1755年明確出現在歐拉出版的回憶錄中。[Youschkevitch 1976: 65]

待續