6÷2(1+2)、0.9循環

跟大家討論兩則常令人吵架的數學問題。

以下均為本咚主觀意見：）

一、6÷2(1+2)＝？

先講結論，這題出的不好，但硬要說答案必然是９，不會是１。

本咚前兩天急沖沖地發在threads結果打錯數字🤣，答案是９不是３啦。

很多人支持答案是１的觀點是，小學學計算的時候老師常說的：「先乘除後加減，有括號先算括號」。

但這些人誤解的是，所謂的先算括號指的是括號內的數字要先計算，不是括號和外面的數字要先計算。

學到分配律之後，有些題目先算括號內的數字不會比較快，要養成判斷題型的習慣。

以本題而言，最重要的就是數字「２」和左括號「（」中間省略了什麼符號呢？相信大家都明白是乘號。

那如果把省略的乘號補上去呢？算式就變成６÷２×（１＋２）

按照「括號內先計算」的規則，把括號內的數字１＋２計算結果為３。

所以算式變成６÷２×(３)，括號內只剩一個正數就可以去掉括號，接著由左而右進行計算：６÷２＝３，然後３×３＝９。

至於有些人拿出某些計算機的答案來佐證，本咚只能說，是那些計算機的程式設計有瑕疵，沒有顧及到這種情況。

畢竟，這種題目就是出來整人的：）

延伸思考：４０／５（４＋４）＝？

這題是某位朋友傳訊跟本咚討論的題目，他認為答案是６４，但也有人認為答案是１。

一樣的情形，會認為答案是１的朋友，是因為把／後面的５（４＋４）先行計算成５×８＝４０。

認為答案是６４的朋友，會把「／」當作「÷」，所以把答案計算成４０÷５＝８，然後８×（４＋４）＝６４。

但，以這題來說，本咚比較傾向認為答案是１。

原因是，雖然在訊息裡面，「／」是用來取代「÷」的，但看到「／」本咚會直覺認為是分數中間那一槓，也就是說４０在分子、５（４＋４）在分母，這樣答案就是１。

這個論點也引起朋友的質疑，難道「／」和「÷」不是相同的東西嗎？

但問題是，在一般的數學計算式當中，我們通常不會寫「／」，這是在訊息裡面代稱除號的時候用的，我們會寫「÷」，或是直接寫成分數。

結論還是：這種題目就是拿來整人的：）

再延伸思考：cos30°×sin30°＝1/2sin60°

這個公式運用到高二上的二倍角公式，原本應該是sin2θ ＝2sinθ cosθ，這邊是把係數２移項過去變成１／２。

但很明顯的，由於有公式，所以當我們看到「1/2sin60°」的時候，基本上不會想成分子是１、分母是２sin60°，而是想成1/2和sin60°是分開來的。

也就是說，一切都是習慣養成的，就像「漢字的序順並不定一能影閱響讀」。

二、0.9循環＝１

這個題目的意思是0.9999999(無限多個9)，其答案會等於１，而這是毋庸置疑的正確解答。

很多人認為，0.9循環≠１的理由是，如果我們在計算紙寫下或是計算機上輸入0.9999999（看你最多能寫幾個９），這樣始終能找到有一個終點，這個數字和１之間仍舊保持非常微量的距離，所以0.9循環≠１。

但這個想法直接就和題目一開始說的「無限多個９」矛盾了，當你在計算紙或計算機上停止寫下／輸入９的時候，這個數字就變成「有限個９」了，這個數字當然和１有著非常微小的差距，而且不等於１。

但思考到無限的觀念之後，我們知道0.9循環與１的距離會無限趨近於０，所以0.9循環＝１。

讓我們用另外兩種方式來驗證一下：

無窮等比級數

在高三的數學會學到「無窮等比級數」（比等比級數簡單很多），其公式為

S_n＝（a₁）／（１－ｒ），首項放分子，（１－公比）放分母。

以0.9循環為例，可以看作0.9+0.09+0.009+......，首項a₁為0.9，公比為0.1

所以總和＝0.9／(1-0.1)＝１

1/3=0.3循環

另一個方式更簡單，只要能接受1/3＝0.3循環

那麼等號左右兩邊同乘以3，就能得到1=0.9循環。