<電磁學筆記4>正交座標系與梯度、散度、旋度

服用須知 : 本系列內容力求白話、通順、易懂（畢竟是筆記嘛😂），因此較沒有極度嚴謹的數學證明，如有特別嚴謹的需求還是要參考教科書！

符號簡介：

• 空間中的一點可由三個座標值（ｑ_１，ｑ_２，ｑ_３）決定，其中ｑ_ｎ就是所謂的座標表法。
• 接下來會以Ｖ表示純量函數，Ａ表向量函數，其中，Ａ_qn是A在q_n方向上的量值，a_qn表在在q_n方向上的單位向量，所以整個A向量函數就是 : Ａ_q1a_{q1 +}Ａ_q2 a_{q2 +}Ａ_q3 a_q3 (Vocus打不出向量跟單位向量上標QQ)
• 一個點的位移量dl可表示為dl=dl₁a_{q1 +}dl₂ a_{q2 +}dl₃ a_q3，dl_n和座標值dq_n維持著一種關係，即 : dl_n = h_n dq_n ，其中，h就是所謂尺度因子。

接下來，就直接介紹常見的正交座標吧 !

笛卡爾座標 :

這是我們最熟悉不過的一種座標系統，用(x,y,z)表示一個點，三個變數的單位向量形成正交關係(此乃正交座標系的意義)，如下圖 : (圖片來源)

可以看到如有一點做位移，則每個方向上的微量位移 :

x方向上的微位移 : dx 、 y方向上的微位移 : dy 、 z方向上的微位移 : dz

根據dl_n = h_n dq_n， 得 : h₁=1、h₂=1、h₃=1

柱座標 :

在柱座標系統下，我們以三個變數構築這個世界 : (ρ,θ,z)，三個變數的單位向量形成正交關係，如下圖 : (圖片來源)

可以想成是一個點由原點出發，先沿著半徑方向走了一定值，再走一個圓弧ρθ，但這樣只有平面，所以再沿著z方向往上(下)走，你會發現如此一來空間中的每一點都能以這種方式抵達，而我上述示範的便是各方向的dl，我們說 :

有一點做位移，每個方向上的微量位移 :

ρ方向上的微位移 : dρ 、 θ方向上的微位移 : ρdθ 、 z方向上的微位移 : dz

根據dl_n = h_n dq_n， 得 : h₁=1、h₂=ρ、h₃=1

球座標 :

在球座標系統下，我們以三個變數構築這個世界 : (r,θ,∅)，三個變數的單位向量形成正交關係，如下圖 : (圖片來源)

一樣，想成是一個點由原點出發，先沿著半徑方向走了一定值，再往上(下)走一個圓弧rθ，再水平沿球表面繞一∅角，你會發現如此一來空間中的每一點都能以這種方式抵達，而我上述示範的便是各方向的dl，我們說 :

每個方向上的微量位移 :

r方向上的微位移 : dr 、 θ方向上的微位移 : rdθ 、 ∅方向上的微位移 : rsinθ d∅

根據dl_n = h_n dq_n， 得 : h₁=1、h₂=r、h₃=rsinθ

所以整理出下表(表一) :

廣義正交表達式 :

要知道，前幾章所談的梯度、散度、旋度皆是在直角座標的情況，如果我們訂定系統為球座標、柱座標呢? 我們只需要找出可以代入dl_n = h_n dq_n的地方即可。

梯度的廣義正交表達式 :

比方說，以梯度為例，梯度的本質就是隨不同路徑移動時，V增量的變化率，亦即 :

把各方向的微量位移dl代入dl_n = h_n dq_n，就得到梯度的廣義的正交表達式 :

如此一來，假設要求柱座標、球座標系統下的梯度，就只要對照表(一)的值一一填入這個萬用式就好了。

散度的廣義正交表達式 :

在我的文章電磁學筆記2裡面有談到，散度就是單位體積的通量，還記得我們將左右通量相加，進而導出微量正方體表面積上的總通量嗎 ? 以下是右側通量 :

基本上轉換座標系後唯一的改變就在於 : 把證明過程中的長度dl(上圖是dy、dz)代入dl_n = h_n dq_n，(有興趣的可以自己證明看看，有點曠日廢時，故只大概講述原理😅)，前後左右上下的通量皆適用，全部加起來得到總通量 :

又因為散度就是單位體積的通量，得到散度的廣義正交表達式 :

一樣，假設要求柱座標、球座標系統下的散度，就只要對照表(一)的值一一填入這個萬用式就好了。

旋度的廣義正交表達式 :

旋度，就是所謂單位面積的總路徑積分值，回顧線(路徑)積分的定義 :

會發現只要在這個步驟即時代入dl_n = h_n dq_n即可，將所有的路徑積分全部相加(詳細推導可看電磁學筆記2)，得到這個複雜的式子，即單位面積的總路徑積分 :

此即旋度的廣義正交表達式，然而實在有點複雜，可以簡化成行列式的形式比較好記 :

同理，只要對照表(一)的值一一填入這個萬用式就能求柱座標、球座標系統下的旋度。

最後，為大家整理出表二 :

以及代入表一後的結果 :

由上而下分別是：笛卡兒座標、球座標、柱座標，分開打是因為一起打會太擠

參考資料：

電磁學與電磁波的理論及應用（上）李長綱博士

周啟電磁學網路課程講義 第一章向量算符

以上就是我的筆記，由於內容屬於原創，如上述有用詞不精、詞不達意、或是觀念錯誤等情況，麻煩在底下留言告知，我會加以修改，請各位多多指教了🙇‍♀️！

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