<電磁學筆記3>旋度與史托克定理

服用須知 : 本系列內容力求白話、通順、易懂（畢竟是筆記嘛😂），因此較沒有極度嚴謹的數學證明，如有特別嚴謹的需求還是要參考教科書！

封閉路徑的線積分 :

在我的上一篇文章（面積積分、通量、與散度）裡有提到，散度的產生來自於表面積截到的通量，也就是要有場的通過，散度才不為0，那麼，難道有場通過的情況下就沒有散度為0的特例嗎?

有的，如果今天我們的場是在體積內部循環，那自然不會有通量的進出，比方說：磁場就是封閉路徑場的最佳例子。

假設空間中分布一向量場Ａ(Vocus打不出向量箭頭QQ)，場A的值越往正方向(xyz軸方向皆適用)就越大，反之，負方向則越小，我們繞著封閉路徑abcd做向量A的線積分(如圖)

(圖片來源 : 第11頁)

由上圖我們可以觀察到 :

1. ab路徑在x方向上的場值遞增，且[路徑向量]與[場向量x分量]夾角為銳角(cosθ>0)
2. bc路徑在y方向上的場值遞增，且[路徑向量]與[場向量y分量]夾角為銳角(cosθ>0)
3. cd路徑在x方向上的場值遞減，且[路徑向量]與[場向量x分量]夾角為鈍角(cosθ<0)
4. da路徑在y方向上的場值遞減，且[路徑向量]與[場向量y分量]夾角為鈍角(cosθ<0)

因為是封閉路徑，其符號為封閉積分符號 : ∮。再由上述觀察，把四段線積分的式子表示出來，並相加就得到總路徑積分 :

你可能會疑惑場向量分量的變化率為甚麼不是(∂A_x/∂x)和(∂A_y/∂y)？

要知道空間中的場值隨位置不同而有不同分布情形，假設我要沿著y方向做積分，但既然是在長方形的邊緣，中心的A_y到邊緣的A_y是不是不一樣?　所以應寫做(∂A_y/∂x)，(∂A_x/∂y)同理。

旋度（Curl）：

在我的上上篇文章（向量分析之梯度），有提到梯度運算子(Gradient)的定義是 :

如果把它和場向量A做外積，會得到：

定睛一看會發現，剛剛總路徑積分的結果，不就剛好等於兩者外積後的ｚ分量(∇×A)_z再乘dxdy嗎? 接著把dxdy（面向z方向的微小面積）簡寫成：da_z，整理成 :

面向x、y方向的微小面積也可用同樣方法求得，只是他們cross出來的方向(以下簡稱i方向)會改而已。

我們給(∇×A)一個名稱，稱作A的旋度，所以(∇×A)_i 就是A的旋度在i方向上的分量。由上式可以看出來，旋度的意義就是單位面積基數的路徑積分值，所以積分起來才會是面向i方向的整個面積的封閉路徑積分之加總。其方向(它是向量喔)則是遵照右手定則。

史托克定理(Stokes' theorem) :

讓我們應用在實際情況吧 ! 假設今天有一個袋狀物體(如圖)，表面把它分割成無限個面積基數，且表面上有無數個內部循環的向量場 :

(圖片來源 :第12頁)

會發現側面的「向量場」會被「旁邊面積基數的向量場」因方向相反的緣故互相消掉了，最後沒被消掉的只有「袋口」的C環形，算出C的路徑積分就是袋子表面的總路徑積分了 ! 回歸線積分的定義並結合剛剛得到的旋度 :

此即史托克定理，史托克定理的意義在於說，原本只能沿著一維路徑做積分，現在可以看成由單位面積的單位路徑積分所累加起來的，而這個單位路徑積分即是場向量函數的旋度。

參考資料：

中山大學開放式課程 電磁學 周啟教授

周啟電磁學網路課程講義 第一章向量算符

以上就是我的筆記，由於內容屬於原創，如上述有用詞不精、詞不達意、或是觀念錯誤等情況，麻煩在底下留言告知，我會加以修改，請各位多多指教了🙇‍♀️！

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