五、函數在不同座標系的梯度
在二維平面上，連續變動的點 (x₁, y₁)、(x₂, y₂)、(x₃, y₃)⋯ 可以統稱為 (x, y)。
(x, y) 代表：沿著 x 軸向量 x̂ 之方向、行進了 x 的距離，再沿著 y 軸向量 ŷ 之方向、行進了 x 的距離，將兩者加總，所對應到的平面上的某個點。
(x, y) 的所有點 (x₁, y₁)、(x₂, y₂)、(x₃, y₃)⋯ 的集合，稱為「關係」(relation)。將前述、僅僅是「關係」的集合，再加上「輸入、輸出」的要件，也就是，將 x 視為輸入的自變數，y 視為輸出的應變數，那麼，這樣的關係，就稱為「函數關係」(functional relation)。
函數關係、類似於機器的輸入與輸出，可以表示為：
y = f(x)
想像有一台機器叫做 f(x) = y，這台機器上面的 x 是它的投幣處，y 是商品跳出處；投進去的銅板是 x₁，跳出來的飲料是 y₁。
現在，假設，要買第二種飲料，所以要投進去的銅板數目不一樣，投 x₂ 進去，得到飲料 y₂⋯ 以下類推。
函數關係、由於受限於「輸入、輸出」的要件，所以，一個輸入的數值、不會產生二個以上的不同的輸出值，換句話說，自變數與應變數、不會是「一對多」的關係。
如果 x、和 y 都是連續的，則在二維平面上，輸入值 x、和輸出值 y、所共同對應的點，會構成一條連續的線。
易言之：
y = f(x) 是二維平面上的曲線，y 是函數的「值」。
我們可以將二維平面上的曲線，視為是三維空間中的曲線的投影。依此，三維空間中的曲線函數、可以表示為：
z = f(x, y(x))
易言之：
z = f(x, f(x)) 是三維空間上的曲線，z 是函數的「值」。
倘若，現在，x、和 y 都是自變數，彼此不受縛於函數的關係，而在二維平面上的每個 (x, y) 的點、又都對應到三維空間的「值」，則這樣的函數關係、會構成三維空間中的曲面。
易言之：
z = f(x, y) 是三維空間中的曲面，z 是函數的「值」。
同理，在我們所熟悉的直角座標系 (Cartesian coordinates) 以外的正交座標系中：
r = f(θ) 是極座標系 (polar coordinates)、二維平面上的曲線；
z = f(r, θ) 是圓柱座標系 (cylindrical coordinates)、三維空間中的曲面。
三維空間的函數，可以各由直角座標系的觀點、和極座標系的觀點、分別觀察。在符號的使用上，我們省略函數的 f 字、而代以函數在三維空間的「值」z；
亦即，表示為：
z = z(x, y) = z(r, θ)
以更符合精簡、經濟的要求。
以上，是對於函數的概要介紹。
前篇、舉出了畢氏定理的向量表達：
x x̂ + y ŷ = r r̂
其中，x̂ 是 x 座標軸上的向量，ŷ 是 y 座標軸上的向量；x̂ 和 ŷ 互相垂直。
文字敘述，即是：
從底邊 x 和斜邊 r 的交點為原點出發、沿著 x̂ 方向移動，至終點，再以此端點為起點、沿著 ŷ 方向移動，而至終點；前述的移動、相當於：由原來的原點出發、沿著 r̂ 方向移動，而至終點。
前式，經由將等號兩邊同乘、同除的變化，其結果、相當於：
(x/r) x̂ + (y/r) ŷ = (r/r) r̂
cos θ x̂ + sin θ ŷ = r̂
r cos θ x̂ + r sin θ ŷ = r r̂
上列等式，既有單位圓周上的半徑向量 r̂，亦有 x 座標軸上的單位向量 x̂、和 y 座標軸上的單位向量 ŷ；所以，可以說：畢氏定理的向量表達，其實已經蘊含了直角座標系 (Cartesian coordinates) 與極座標系 (polar coordinates) 的轉換關係 (transformation relation)。
它們的第一層轉換關係如下：
r = √(x² + y²)
θ = arctan (y/x)
x = r cos θ
y = r sin θ
偏導數 (partial derivative) 指的是：在一個連續改變的形體中，某個數值、沿著構成另一數值的座標軸之方向移動，其改變之程度。
視某個數值、為另一個數值的函數，並在其他分量不變的前提下、取偏導數，其幾何的意義相當於：在連續改變的形體上、選擇其中的一條切線，並求得其斜率。
進而，純量函數在各個座標軸方向的偏導數、分別構成其梯度向量 (gradient vector) 的分量，在幾何上、此意謂：在二維平面上，曲線的梯度向量、就是與等高線 (isocontour line) 垂直的法向量，在三維空間中，曲面的梯度向量、就是與切平面 (tangent plane) 垂直的法向量。
比方，在騎腳踏車時，如果上坡的路線過於陡峭，則我們可以將往上直騎的路線、改為斜向，這樣、可以比較省力，其投影的意義為：在二維平面上，由於梯度向量的方向、垂直於等高線，因而，乃是最快到達下一個等高線的方向，同時、也是上坡最為費力的方向；如果，這時，將往上直騎的路線改為斜向，由於非與梯度向量平行，便不那麼費力，但相應付出的、則是較慢到達的代價。
再者，由於函數的梯度向量、總是與等高線的切線方向垂直，所以，如果行進的路線、並不是沿著等高線的切線方向前進，那麼，除非，行進的位置、恰好位於路徑的最高點、或最低點，否則，便不會有與梯度向量垂直的情況發生，換句話說，亦僅有在路徑的最高點、或最低點的時刻，行進的方向、才會與等高線的切線方向平行；此分析、稱為「受限制的極大化問題」(the constrained-optimization problem)。
若分別就函數在極座標系的分量、之於其在直角座標系的分量、進行偏微分，及就函數在直角座標系的分量、之於其在極座標系的分量、進行偏微分，那麼，二座標系的分量數值之轉換，就更能夠顯現它們之間的深刻關係。
此即：
∂r/∂x = ∂/∂x (√(x² + y²))
= (x / √(x² + y²))
= r cos θ / r
= cos θ
∂r/∂y = ∂/∂y (√(x² + y²))
= (y / √(x² + y²))
= r sin θ / r
= sin θ
∂θ/∂x = ∂/∂x (arctan (y/x))
= (1 / (1 + (y/x)²) ∂/∂x (y/x)
= (1 / (1 + (y/x)²) (-y/x²)
= -y / (x² + y²)
= -r sin θ / r²
= - sin θ / r
∂θ/∂y = ∂/∂y (arctan (y/x))
= (1 / (1 + (y/x)²) ∂/∂y (y/x)
= (1 / (1 + (y/x)²) (1/x)
= x / (x² + y²)
= r cos θ / r²
= cos θ / r
∂x/∂r = cos θ
∂x/∂θ = -r sin θ
∂y/∂r = sin θ
∂y/∂θ = r cos θ
本篇的目的，首先，是要尋找極座標系的梯度向量 (gradient vector) 之運算法則，其次，想要進而探討的是：在經由不同座標系間的數值轉換後，梯度是否仍然是一個不變量？
我們知道，座標系、其實是某種特定觀點的選取，而由不同的觀點、去看待相同的一件事物時，哪些、會改變，哪些、不會改變，則是我們有興趣研究的課題。
據說，恆河的水，餓鬼看它、是一條大火流，人看見的、只是一條河流，在天界神仙的眼裡、卻是充滿了珍寶的光流；流的形象、會改變，但它怎麼彎曲、又往哪個方向流去、則不會改變。
是以，雖說「萬法唯心所現」，但是，由觀點之不同、所構成的視野之差異，與說一切、不過是由心的投影、所虛構出來的幻境，這兩者之間、還是要善加甄別，不能籠統地一概而論。
二維的極座標系、有兩個單位座標向量，它們互相垂直。
此即：
θ̂·r̂ = 0
其中，半徑向量 r̂、為：
r̂ = cos θ x̂ + sin θ ŷ
旋轉向量 θ̂、乃是由半徑向量 r̂ 之於旋轉角度 θ 進行微分求得，其為：
θ̂ = - sin θ x̂ + cos θ ŷ
至於位置向量 (position vector)，由前述畢氏定理的向量表達：
x x̂ + y ŷ = r r̂
可以知道，在直角座標系中，位置向量 R⃗、應表示為如下的形式：
R⃗ = x x̂ + y ŷ
其向量的表達形式、為：
R⃗ = (x, y)
而在極座標系中，位置向量 R⃗、則應表示為如下的形式：
R⃗ = r r̂
其向量的表達形式、為：
R⃗ = (r, 0)
這是因為，半徑向量 r̂ 是、而且僅是旋轉角度 θ 的函數，它不會沿著自身的方向伸長、或縮短，而僅會依着旋轉角度的改變而旋轉；因此，不同的旋轉角度 θ、即對應著相應的半徑向量 r̂。
以是之故，位置向量 R⃗ 乃純由被旋轉角度 θ 決定的半徑向量 r̂、乘以某數值而得，而非分別由半徑向量 r̂、和旋轉向量 θ̂、乘以某數值、相加而得；
亦即，不是如此：
R⃗ = r r̂ + θ θ̂
因而，若將位置向量 R⃗ 表示為如下的向量形式：
R⃗ = (r, θ)
應該是有問題的。
位置向量 R⃗ 的微小改變、是為：
d (r r̂) = (dr) r̂ + r (dr̂)
= (dr) r̂ + r (dr̂/dθ dθ)
= (dr) r̂ + r (d/dθ r̂ dθ)
= (dr) r̂ + r (d/dθ (cos θ x̂ + sin θ ŷ) dθ)
= (dr) r̂ + r ((- sin θ x̂ + cos θ ŷ) dθ)
= (dr) r̂ + r dθ (- sin θ x̂ + cos θ ŷ)
= dr r̂ + r dθ θ̂
= (dr, r dθ)
除了前述座標系間、分量數值的轉換關係之外，函數本身的「值」、也可以經由沿著構成其分量的座標軸之方向移動、求得偏導數。
此即：
∂z/∂x = ∂z/∂r ∂r/∂x + ∂z/∂θ ∂θ/∂x
= ∂z/∂r (cos θ) + ∂z/∂θ (- sin θ / r)
= (cos θ) ∂z/∂r + (- sin θ / r) ∂z/∂θ
∂z/∂y = ∂z/∂r ∂r/∂y + ∂z/∂θ ∂θ/∂y
= ∂z/∂r (sin θ) + ∂z/∂θ (cos θ / r)
= (sin θ) ∂z/∂r + (cos θ / r) ∂z/∂θ
∂z/∂r = ∂z/∂x ∂x/∂r + ∂z/∂y ∂y/∂r
= ∂z/∂x (cos θ) + ∂z/∂y (sin θ)
= (cos θ) ∂z/∂x + (sin θ) ∂z/∂y
∂z/∂θ = ∂z/∂x ∂x/∂θ + ∂z/∂y ∂y/∂θ
= ∂z/∂x (-r sin θ) + ∂z/∂y (r cos θ)
= (-r sin θ) ∂z/∂x + (r cos θ) ∂z/∂y
可以看出：它們彼此構成了Jacobian 矩陣之轉換關係，此處不擬列出。
現在，我們要問：一個函數、在極坐標系中的梯度向量為何？
已知，函數本身的「值」，其微小的改變、以極座標系表示、為：
dz = ∂z/∂r dr + ∂z/∂θ dθ
而這個改變，依鏈鎖律 (chain rule)，又相當於它的梯度向量、與位置向量的微小改變、相乘之內積：
dz = ∇ z(r, θ) · dR⃗
= ∇ z(r, θ) · d (r r̂)
= (∇ₛ, ∇ₜ) · (dr, r dθ)
= ∇ₛ dr + ∇ₜ r dθ
拿這個結果、和前式相比較，就可以知道，函數在極座標系的梯度向量、即為：
∇ z(r, θ) = (∇ₛ, ∇ₜ)
= (∂z/∂r, (1/r) ∂z/∂θ)
= ∂z/∂r r̂ + (1/r) ∂z/∂θ θ̂
這代表，梯度向量、在極座標系的運算法則、為：
∇ = (∂/∂r, (1/r) ∂/∂θ)
另外，我們想要知道，由直角座標系的觀點、所求得的梯度、是否能與極座標系的梯度相通。
函數本身的「值」，其微小的改變、以直角座標系表示、為：
dz = ∂z/∂x dx + ∂z/∂y dy
而這個改變，依鏈鎖律 (chain rule)，又相當於它的梯度向量、與位置向量的微小改變、相乘之內積：
dz = ∇ z(x, y) · dR⃗
= ∇ z(x, y) · d (x x̂ + y ŷ)
= (∇ₓ, ∇ᵧ) · (dx, dy)
= ∇ₓ dx + ∇ᵧ dy
拿這個結果、和前式相比較，再將前述函數本身的「值」、沿著 x、y 軸方向移動、所得到的偏導數之內容代入，就可以知道，函數在直角座標系的梯度向量、為：
∇ z(x, y) = (∇ₓ, ∇ᵧ)
= (∂z/∂x, ∂z/∂y)
= [(cos θ) ∂z/∂r + (- sin θ / r) ∂z/∂θ, (sin θ) ∂z/∂r + (cos θ / r) ∂z/∂θ]
= [(cos θ) ∂z/∂r + (- sin θ / r) ∂z/∂θ] x̂ + [(sin θ) ∂z/∂r + (cos θ / r) ∂z/∂θ] ŷ
= [(cos θ) x̂ ∂z/∂r + (- sin θ / r) x̂ ∂z/∂θ] + [(sin θ) ŷ ∂z/∂r + (cos θ / r) ŷ ∂z/∂θ]
= [(cos θ) x̂ ∂z/∂r + (sin θ) ŷ ∂z/∂r] + [(- sin θ / r) x̂ ∂z/∂θ + (cos θ / r) ŷ ∂z/∂θ]
= [cos θ x̂ + sin θ ŷ] ∂z/∂r + [(- sin θ / r) x̂ + (cos θ / r) ŷ] ∂z/∂θ
= [r̂] ∂z/∂r + [(1/r) θ̂] ∂z/∂θ
= ∂z/∂r r̂ + (1/r) ∂z/∂θ θ̂
此結果、等於函數在極座標系的梯度向量。
因此，我們得到：
∇ z(x, y) = ∇ z(r, θ)
這就證明了：函數的梯度向量，不論是用極座標系、或直角座標系的觀點求得，其結果皆相同。
一般化而言，位置向量 R⃗ 的微小改變、為：
dR⃗ = ∂R⃗/∂u₁ du₁ + ∂R⃗/∂u₂ du₂
= (∥∂R⃗/∂u₁∥ / ∥∂R⃗/∂u₁∥) ∂R⃗/∂u₁ du₁+ (∥∂R⃗/∂u₂∥ / ∥∂R⃗/∂u₂∥) ∂R⃗/∂u₂ du₂
= ∥∂R⃗/∂u₁∥ (∂R⃗/∂u₁ / ∥∂R⃗/∂u₁∥) du₁+ ∥∂R⃗/∂u₂∥ (∂R⃗/∂u₂ / ∥∂R⃗/∂u₂∥) du₂
= ∥∂R⃗/∂u₁∥ (û₁) du₁ + ∥∂R⃗/∂u₂∥ (û₂) du₂
= ∥∂R⃗/∂u₁∥ du₁ û₁ + ∥∂R⃗/∂u₂∥ du₂ û₂
= (∥∂R⃗/∂u₁∥ du₁, ∥∂R⃗/∂u₂∥ du₂)
函數本身的「值」，其微小的改變、為：
dz = ∂z/∂u₁ du₁ + ∂z/∂u₂ du₂
而這個改變，依鏈鎖律 (chain rule)，又相當於它的梯度向量、與位置向量的微小改變、相乘之內積：
dz = ∇ z(u₁, u₂) · dR⃗
= ∇ z(u₁, u₂) · (∥∂R⃗/∂u₁∥ du₁ û₁ + ∥∂R⃗/∂u₂∥ du₂ û₂)
= (∇ᵤ, ∇ᵥ) · (∥∂R⃗/∂u₁∥ du₁, ∥∂R⃗/∂u₂∥ du₂)
= ∇ᵤ ∥∂R⃗/∂u₁∥ du₁ + ∇ᵥ ∥∂R⃗/∂u₂∥ du₂
拿這個結果、和前式相比較，就可以知道，函數的梯度向量、在一般化的情況、即為：
∇ z(u₁, u₂) = (∇ᵤ, ∇ᵥ)
= ((1 / ∥∂R⃗/∂u₁∥) ∂z/∂u₁, (1 / ∥∂R⃗/∂u₂∥) ∂z/∂u₂)
= ((1/h₁) ∂z/∂u₁, (1/h₂) ∂z/∂u₂)
= (1/h₁) ∂z/∂u₁ û₁ + (1/h₂) ∂z/∂u₂ û₂
h₁、h₂ 分別為偏導數向量之長度，稱為標度因子 (scale factors)。
已知，在二維平面上，位置向量 R⃗ 的微小改變之一般化表達、是為：
dR⃗ = (∥∂R⃗/∂u₁∥ du₁, ∥∂R⃗/∂u₂∥ du₂)
= (h₁ du₁, h₂ du₂)
將其與梯度向量之一般化表達排比對照，二者，由於標度因子 h₁、h₂ 之凹凸嵌入，猶如齒輪的嚙合般、上下密合。
