尋犀記 (6)

六、全導數於三維幾何之意義

與偏導數 (partial derivative) 不同，全導數 (total derivative) 乃根據所有分量 (而非僅是單一分量) 之微小移動、所產生的各別對於函數數值的貢獻，來逼近函數本身的「值」之微小改變。

此即：

dz = ∂z/∂x dx + ∂z/∂y dy

上式之文字敘述、為：函數本身的「值」之微小改變，等於其各個分量之微小移動、所產生的對於函數數值的貢獻，之加總。

在三維空間中，經由函數的位置向量 R⃗ 沿著 x、y 軸方向之微小移動、所得到的偏導數向量 dR⃗ₓ、和 dR⃗ᵧ，分別構成函數的切平面 (tangent plane) 之兩軸。

切平面沿著 x̂ 側的軸，即 dR⃗ₓ；沿著 ŷ 側的軸，即 dR⃗ᵧ。此二向量之加總，即是由切點出發、而行進至切平面的對角點之對角向量 dR⃗。

此即：

dR⃗ = dR⃗ₓ + dR⃗ᵧ

解析而言：

dR⃗ₓ 乃是沿著 x̂ 前進、走了 dx，再沿著 ẑ 往上、走了 dzₓ，所得到的向量。

dR⃗ᵧ 乃是沿著 ŷ 前進、走了 dy，再沿著 ẑ 往上、走了 dzᵧ，所得到的向量。

此即：

dR⃗ₓ = dx x̂ + dzₓ ẑ

dR⃗ᵧ = dy ŷ + dzᵧ ẑ

而在三維空間中，因 x 分量的微小移動、所產生的對於函數數值的貢獻、為 dzₓ；因 y 分量的微小移動、所產生的對於函數數值的貢獻、為 dzᵧ；對角向量 dR⃗ 之高、為 dz。

現在，我們要問的是，如何證明： dz = dzₓ + dzᵧ？

已知，切平面的兩軸，dR⃗ₓ、和 dR⃗ᵧ，之加總，即是對角向量 dR⃗；再將它們沿著 ẑ 往上行進的路程、置於最後項，即可得到所要的結果。

此即：

dR⃗ = dR⃗ₓ + dR⃗ᵧ

= (dx x̂ + dzₓ ẑ) + (dy ŷ + dzᵧ ẑ)

= dx x̂ + dy ŷ + (dzₓ + dzᵧ) ẑ

= dx x̂ + dy ŷ + (dz) ẑ

這就證明了：

dz = dzₓ + dzᵧ

用向量相加的方法、給予全導數以幾何的直觀意義，十分地簡單直接。而事實上，前段的敘述、即是畢氏定理在三維空間的推廣。

進而，二維的梯度向量 (gradient vector) 亦可以視為是斜率導數 (slope derivative) 在二維平面上的推廣。

此即：

dy = y′(x) dx

dz = ∂z/∂x dx + ∂z/∂y dy

= ∇ z(x, y) · dR⃗𝓏₀

其中，dR⃗𝓏₀ 為對角向量 dR⃗ 在 xy 平面上的投影。

然而，二維的梯度向量 ∇ z(x, y) 卻應視為是三維空間的梯度向量 ∇ w(x, y, z) 在 xy 平面上的投影，亦即，是一種壓縮。

是故，一般化而言，可以將在三維空間中的位置向量 R⃗ 表示為：

R⃗ = (x, y, z(x, y))

其全導數為：

dR⃗ = dR⃗ₓ + dR⃗ᵧ

= ∂R⃗/∂x dx + ∂R⃗/∂y dy

= (1, 0, ∂z/∂x) dx + (0, 1, ∂z/∂y) dy

= (dx, dy, ∂z/∂x dx + ∂z/∂y dy)

= (dx, dy, ∇ z(x, y) · dR⃗𝓏₀)

而最後之分量，即是切平面的兩軸，dR⃗ₓ、和 dR⃗ᵧ，沿著 ẑ 往上行進的路程之加總。