＜電磁學筆記２＞面積積分、通量、與散度

服用須知 : 本系列內容力求白話、通順、易懂（畢竟是筆記嘛😂），因此較沒有極度嚴謹的數學證明，如有特別嚴謹的需求還是要參考教科書！

面積向量 :

面積向量可以視為和一表面垂直的向量，同一面上有正反兩個表面，兩表面上的面積向量為反向。

以下有三種以後常遇到的面積向量形式，分別為:

1. 圓形導線有電流通過，面積向量方向遵照右手定則（四指電流，拇指面積向量）。
2. 在空間中畫一個環形路徑，空間有電場通過，電場沿路徑方向做線積分，面積向量方向遵照右手定則（四指路徑，拇指面積向量）。
3. 空間中的曲面，分割成無限個無限小的面積，擁有無限組面積向量，同一面上同樣有正反兩個表面，面積向量互為反向。(因此同理於封閉曲面，外表面的面積向量為正，內表面的為負，兩者方向相反)。

通量(Flux)Φ :

我們定義通量Φ=場向量和面積向量之內積。

假設空間中有一個場「A向量」(Vocus打不出向量箭頭QQ)，以及一個曲面a(場A通過其中)，曲面a的面積向量是什麼呢？微觀來看，如果把空間中的曲面，分割成無限個面積基數𝒹a，就有無限個通量𝒹Φ，全部把他相加即積分出Φ：

那如果今天這個曲面是封閉的呢?比方說一個極小的正立方體，置放在電場Ａ中，如圖 :

(圖片來源：第九頁）

假設電場Ａ在不同位置有不同量值，越往正方向（xyz軸皆適用）電場Ａ越大，反之往負方向越小。我們想要試算這顆正立方體的電場總通量，因為有六個面，所以先算出左右的總通量，上下、前後再以此類推就好了。

右邊：

垂直通過右側表面的電場為：中間的場值（Ａ的水平分量）＋（電場隨ｘ方向的變化率）×（經過的距離，也就是𝒹x的一半），用數學表達為：

而右側表面的面積基數為𝒹y𝒹z，將兩者內積，得到右側電通量 :

左邊 :

一樣的原理，不過注意A往負向是遞減，且面積向量為反向(cos大於90度，內積出來代負號)，因此寫出來是 :

左右相加 :

其中，τ是體積基數。前後、上下以此類推，只是把x換成y、z而已，全部加起來得到微小體積基數的總通量 :

而整顆正立方體的總通量就是把𝒹Φ積分後的樣子，我就偷懶不寫了。

散度 :

在我的上一篇文章（向量分析之梯度），有提到梯度運算子(Gradient)的定義是 :

仔細看剛剛正方體總通量的積分式，會發現中間括號起來的部分根本就是梯度運算子和A向量(A_xi+A_yj+A_zk)的內積 :

這樣式子便簡潔多了，我們給(∇．A)一個名稱，稱作A的散度。由上式可以看出來，散度的意義就是單位體積基數的通量，所以積分起來才會是整顆立方體的總通量。

如果(∇．A)不等於0，表示有向量場從立方體內部發散出去，或由外部收斂進去。

散度定理 :

如同前述通量小節說的，總通量依照定義也可寫成：

發現了吧！兩式居然可以互通：

此及著名的散度定理(Divergence theorem)，散度定理的物理意義在於說，原本只能透過表面積攔截的通量，現在可以看成由單位體積的單位通量所累加起來的，而這個單位通量即是場向量函數的散度。

參考資料：

中山大學開放式課程 電磁學 周啟教授

周啟電磁學網路課程講義 第一章向量算符

以上就是我的筆記，由於內容屬於原創，如上述有用詞不精、詞不達意、或是觀念錯誤等情況，麻煩在底下留言告知，我會加以修改，請各位多多指教了🙇‍♀️！

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