舊業重溫5--又連乘又開根號,超大數求平方根問題

有國中學生問了這樣的題目，說是定期考察的試題：

看起來，即使不是競試題，也像是培養競試選手的練習題，因為數字是嚇死人的大。當然如果允許使用計算器，那比的是操作計算器的技能，不是考數學，就沒意思了。目前中小學考試通常尚未開放使用，還得靠手、腦、筆、紙，但真要硬把4個四位數乘起來，結果是一個14位數，再來個開根號，可不是尋常學生能辦到的，估計要困住許多人。除非考前老師教過解法，否則出這樣的題目，莫非存心害慘學生？

不蠻力死拚，那有什麼竅門嗎？其實關鍵技巧就是國中二年級的乘法公式，重點在於處理根號內的部分。本題正足以顯出代數的威力，讓計算變得省力。

國中數學課教的乘法公式而本題用得到者，以下先列出備查：

公式一: ( a + b)² = a² + 2ab + b²
公式二: ( a – b)² = a² – 2ab + b²
公式三: ( a + b)( a – b ) = a² – b²  (平方差)

解法一：
筆者看到根號內四個連續數相乘，最先閃現的想法就是用平方差乘法公式。

所以根號內的式子可代換成為

我知道許多學生見到分數就心生畏懼。有沒有避開分數的辦法？於是想出了第二招。

解法二：

設n=2018, 則根號內的式子可代換成為

 n×(n+1)×(n+2)×(n+3) + 1
=(n² + 3n)×(n² + 3n + 2) + 1       說明: 仍然將第一與第四乘開，第二與第三乘開。
=(n² + 3n) ² + 2(n² + 3n) + 1         具備完全平方形式,套用公式一                      
=[(n² + 3n) + 1]²

所以，根號與平方抵消，後面部分化簡成 n² + 3n + 1。

於是原題可化為

(n+2) ² – (n² + 3n + 1)
=(n²+ 4n + 4) – (n²+ 3n + 1)          前一個括號套用公式一乘開
= n+3 = 2018+3 = 2021                         

看起來簡潔漂亮一些。

以下附上學生的老師所給的解答，供大家參考，雖然也是消根號，處理手法卻又不同。

第一步根號內的變化，其實已經跳過兩三步了，要稍加費神推敲。

上述各種解法假使懂了，現學現用，玩玩我為您準備的題目，品嘗學習數學的樂趣吧。(提示: 答案是四位數。)

94×98×102×106 + 256 = (          )²