舊業重溫5--又連乘又開根號,超大數求平方根問題

舊業重溫5--又連乘又開根號,超大數求平方根問題

更新於 發佈於 閱讀時間約 3 分鐘

有國中學生問了這樣的題目,說是定期考察的試題:

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看起來,即使不是競試題,也像是培養競試選手的練習題,因為數字是嚇死人的大。當然如果允許使用計算器,那比的是操作計算器的技能,不是考數學,就沒意思了。目前中小學考試通常尚未開放使用,還得靠手、腦、筆、紙,但真要硬把4個四位數乘起來,結果是一個14位數,再來個開根號,可不是尋常學生能辦到的,估計要困住許多人。除非考前老師教過解法,否則出這樣的題目,莫非存心害慘學生?

不蠻力死拚,那有什麼竅門嗎?其實關鍵技巧就是國中二年級的乘法公式重點在於處理根號內的部分。本題正足以顯出代數的威力,讓計算變得省力。

國中數學課教的乘法公式而本題用得到者,以下先列出備查:

公式一: ( a + b)2 = a2 + 2ab + b2
公式二: ( a – b)2 = a2 – 2ab + b2
公式三: ( a + b)( a – b ) = a2 – b2  (平方差)

解法一:
筆者看到根號內四個連續數相乘,最先閃現的想法就是用平方差乘法公式。

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所以根號內的式子可代換成為

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我知道許多學生見到分數就心生畏懼。有沒有避開分數的辦法?於是想出了第二招。

解法二:

設n=2018, 則根號內的式子可代換成為

 n×(n+1)×(n+2)×(n+3) + 1
=(n2 + 3n)×(n2 + 3n + 2) + 1       說明: 仍然將第一與第四乘開,第二與第三乘開。
=(n2 + 3n) 2 + 2(n2 + 3n) + 1         具備完全平方形式,套用公式一                      
=[(n2 + 3n) + 1]2

所以,根號與平方抵消,後面部分化簡成 n2 + 3n + 1。

於是原題可化為

(n+2) 2 – (n2 + 3n + 1)
=(n2+ 4n + 4) – (n2+ 3n + 1)          前一個括號套用公式一乘開
= n+3 = 2018+3 = 2021                         

看起來簡潔漂亮一些。


以下附上學生的老師所給的解答,供大家參考,雖然也是消根號,處理手法卻又不同。

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第一步根號內的變化,其實已經跳過兩三步了,要稍加費神推敲。

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上述各種解法假使懂了,現學現用,玩玩我為您準備的題目,品嘗學習數學的樂趣吧。(提示: 答案是四位數。)

94×98×102×106 + 256 = (          )2   

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他花了20分鐘,寫了好幾張紙,先把所求設為x,經過高達四位數的冗長計算,推出一個x的方程式,還有一項分母帶未知數,x的頭上都有5次方。這已經夠嚇人了,竟再引入另一個未知數m = ( x – 2/x ),再歷經辛苦的計算,變出一個m的五次方程式,推出一個合理解,再回頭據以求x。哎呀呀,他是想把學生嚇退
 1.本文提供的三種解法,似乎後兩種在計算上比較輕鬆,但其實計算的難易可能因題目給的數字或條件不同,而有差異,不能一概而論。譬如,當一元二次方程式的兩根是整數,那用解法1最簡單,何須大費周章?  2.題(2)求立方和,解法3要利用計算平方和的結果,而解法2則不必,所以題目如果不要學生算平方和,
結語:循規蹈矩的算法是萬用的原則,但這兩題命題者顯然有引導學生善用運算性質的用心,因為在不使用計算器的情況下,不必像爬過高山一般,計算龐大的數字,減輕了負擔,縮短了計算時間,並降低犯錯的機會。 學生平時應多練習解題,並多思考、嘗試不同的方法,經驗豐富了,就容易迅速找出捷徑,窺知出題者的小心思。
題目: 大雄今年8歲,爸爸比他大30歲。問再經過幾年以後,爸爸的年紀正好是大雄的三倍?
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