舊業重溫5--又連乘又開根號,超大數求平方根問題

更新於 發佈於 閱讀時間約 3 分鐘

有國中學生問了這樣的題目,說是定期考察的試題:

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看起來,即使不是競試題,也像是培養競試選手的練習題,因為數字是嚇死人的大。當然如果允許使用計算器,那比的是操作計算器的技能,不是考數學,就沒意思了。目前中小學考試通常尚未開放使用,還得靠手、腦、筆、紙,但真要硬把4個四位數乘起來,結果是一個14位數,再來個開根號,可不是尋常學生能辦到的,估計要困住許多人。除非考前老師教過解法,否則出這樣的題目,莫非存心害慘學生?

不蠻力死拚,那有什麼竅門嗎?其實關鍵技巧就是國中二年級的乘法公式重點在於處理根號內的部分。本題正足以顯出代數的威力,讓計算變得省力。

國中數學課教的乘法公式而本題用得到者,以下先列出備查:

公式一: ( a + b)2 = a2 + 2ab + b2
公式二: ( a – b)2 = a2 – 2ab + b2
公式三: ( a + b)( a – b ) = a2 – b2  (平方差)

解法一:
筆者看到根號內四個連續數相乘,最先閃現的想法就是用平方差乘法公式。

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所以根號內的式子可代換成為

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我知道許多學生見到分數就心生畏懼。有沒有避開分數的辦法?於是想出了第二招。

解法二:

設n=2018, 則根號內的式子可代換成為

 n×(n+1)×(n+2)×(n+3) + 1
=(n2 + 3n)×(n2 + 3n + 2) + 1       說明: 仍然將第一與第四乘開,第二與第三乘開。
=(n2 + 3n) 2 + 2(n2 + 3n) + 1         具備完全平方形式,套用公式一                      
=[(n2 + 3n) + 1]2

所以,根號與平方抵消,後面部分化簡成 n2 + 3n + 1。

於是原題可化為

(n+2) 2 – (n2 + 3n + 1)
=(n2+ 4n + 4) – (n2+ 3n + 1)          前一個括號套用公式一乘開
= n+3 = 2018+3 = 2021                         

看起來簡潔漂亮一些。


以下附上學生的老師所給的解答,供大家參考,雖然也是消根號,處理手法卻又不同。

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第一步根號內的變化,其實已經跳過兩三步了,要稍加費神推敲。

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上述各種解法假使懂了,現學現用,玩玩我為您準備的題目,品嘗學習數學的樂趣吧。(提示: 答案是四位數。)

94×98×102×106 + 256 = (          )2   

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