舊業重溫7--(√2-1)的12次方怎麼化簡?

據說這是哈佛大學的考題，吸引幾個油挑伯(YouTuber)製作解題影片，妙的是解法都用一樣的巧招，這留待後面來談。

先解釋一下，本題不是求近似值，用手機上的計算器或找谷歌幫忙，會得到近似值答覆，不滿足要求。所謂化簡，是指計算成a+b√2形式，其中a與b是整數，可能正也可能負。既然是考題，自然是考驗手腦的計算。以下除了提供油挑伯的巧解之外，前面先加碼兩招，卻不見得比較遜，請大家參考。

前後共有13項(被 + 號隔開的部分算一項)，接著逐項計算數值，最後合併。

不過，依筆者經驗，頗多學生對排列組合感到頭很大，光是把這個公式看懂都挺辛苦的，遑論正確寫出，因此以下略作說明。

每一項由三部分相乘，形式為 C(12,k)．(√2)^12-k．(-1)^k，其中k=0或1或2或3 …，直到12。後兩部分的計算屬國中程度，略過，專講第一部分。

C(12,k)表示從12件相異物中取出k件的組合數，其值等於12!(階乘)除以((12-k)!．k!)的結果(特別規定0!=1)，經過約分簡化後，也等於(從12遞減，連續k個自然數相乘)除以(從k遞減，連續k個自然數相乘)，例如k=3的情形，C(12,3)=(12．11．10)÷(3．2．1) =220，而C(12,4)=(12．11．10．9)÷(4．3．2．1)=495，但在0!=1的規定之下，C(12,0)=1。

到這裡，各位可以開始動筆逐項計算了。 ……

讓我休息一下... ([陳傳義]拍攝)

逐項計算結果是這樣吧
64 – 12．32√2 + 66．32 – … – 12．√2 + 1
繼續算出乘積,然後把有√2的項和沒√2的項分別合併,答案留在下文揭曉。

第二招. 其實，尚未學到或忘記二項展開式的人也別失望，只要嫻熟國中的完全平方公式(註)和指數律，仍可挑戰。解題對策就是逐步計算高次方，當然，數字越來越大，演算必須越加細心。請看：

第三招. 以下介紹油挑伯的巧招，憑藉的仍是完全平方公式和指數律。

令x=√2 – 1, 
  x+1 =√2,                       移項
  (x+1)² =(√2)²,               
  x² + 2x + 1 = 2,                  根據平方公式乘開
  x² = 2 - 2x - 1 = 1-2x …(ㄅ)    再移項
  ( x² )² =(1-2x)²                   再兩邊平方
  x⁴ = 1 – 4x + 4x²
    = 1 – 4x + 4(1-2x)              根據(ㄅ)結果把x²代換掉
    = 1 – 4x + 4 – 8x = 5 - 12x
  ( x⁴ )² =(5 - 12x)²                  繼續兩邊平方
  x⁸ = 25 – 120x + 144x²   
    = 25 – 120x + 144(1-2x)     繼續把x²代換掉
    = 169 – 408x
  x¹² = x⁸⁺⁴ = x⁸．x⁴ =(169 – 408x)．(5 - 12x)
    = 845 – 2040x – 2028x + 4896x²
    = 845 – 4068x + 4896(1-2x)  再次代換
    = 845 - 4068x + 4896 – 9792x
    = 5741 – 13860x
    = 5741 – 13860(√2 – 1)        把x還原
    = 5741 – 13860√2 + 13860
    = 19601 – 13860√2 _……QED

諸位文友看出玄機了嗎？訣竅在於把高次降成一次，而除了最前與最後，其過程中皆未出現根號，有助減輕學生心理壓力。誠屬值得存參的技法。

以下提供練習題，供手癢者測試功力增長了幾許。

試化簡 (2 – √3)⁶ = ?     

註：本沙龍從<舊業重溫3>至<舊業重溫6>等4篇解題文章不斷在使用完全平方乘法公式,歡迎參閱以熟練之。