久仰黑先生 (Black-Scholes) 的神奇公式，從來沒有搞懂過，但在金融數學裡到處出現，這次下決心來好好研究一下。以我的駑鈍資質，要了解的多深入是不可能的，只能依公式照樣計算而已。感謝數學前輩的貢獻，原來是有兩位：Black (1938~1995) and Scholes (1941~) 偉大的經濟學家，我們致敬之後，就直接使用他們的發明吧。
選擇權理論價格
這就是大名鼎鼎的原始公式：
但這裡面有一個麻煩的東西，就是 q，股利因子。一個指數，包涵眾多股票，每個時期各自除權息金額大小不一，根本無法固定，若只用一個簡單的數字去假設，顯然是會產生誤差，偏離事實，因此就有了修正版的公式：
這裡面 q 不見了，而 S 變成 F (期貨) 了。聰明的期貨市場參與者，會自動把配息因素考慮進去，計算起來方便多了。正想著如何寫程式，chatGPT 已經服務到家了：
from scipy.stats import norm
def black_76_option_price(F, K, T, r, sigma, option_type='call'):
"""
計算期貨標的選擇權的理論價（Black-76）
F: 期貨價格（標的）
K: 履約價
T: 剩餘時間（以年為單位）
r: 無風險利率（年化）
sigma: 年化波動率
option_type: 'call' 或 'put'
"""
d1 = (np.log(F / K) + 0.5 * sigma**2 * T) / (sigma * np.sqrt(T))
d2 = d1 - sigma * np.sqrt(T)
discount_factor = np.exp(-r * T)
if option_type == 'call':
price = discount_factor * (F * norm.cdf(d1) - K * norm.cdf(d2))
elif option_type == 'put':
price = discount_factor * (K * norm.cdf(-d2) - F * norm.cdf(-d1))
else:
raise ValueError("option_type 必須是 'call' 或 'put'")
return price
關鍵技術的門檻，已經被 ai 弭平了，剩下的只是修修補補的雜事。依序取得公式所需要的參數：
F：近期期貨最新報價，透過券商 api 取得。
K：履約價，透過券商 api 取得選擇權所有的 ticker，找到最近到期的月選，從該契約再篩選期貨最新報價正負 1000 點之內的 ticker list 取出備用。取得報價和下單都需要指定正確的 ticker。
T：剩餘時間 (以年為單位)。計算「當時」與「到期日之結算時間 13:30」 的精確秒數，除以 86400，再除以 365 得之。
r：無風險利率，設定為 0.015
sigma：使用近月期貨的「歷史波動率」，從 期交所 網站可爬得 30 天收盤資料，計算標準差再年化而得。記住了，只要是關於「波動」的，在選擇權領域都是重要的。
以上資料已經足夠，計算所有的買賣權理論價格了。
市價倒推「隱含波動率」
理論價格既已得出，實際價格應該與之接近，但是不可能一模一樣，有時候市價偏高，有時候偏低，這就產生了解讀空間，有可能挖掘出市場隱藏的秘密嗎？選擇權的意義在於為未來的風險，也就是波動，埋單；所付出的代價，用來規避，或對沖可能的損失，也就等同於「保險費」的概念。當「所願意付出」的保險費更高，代表交易者對未來的不確定性更爲擔憂，心中所認定的風險，比已發生的歷史事實更高，反之亦然。這個「心中所認知的風險」 就是「隱含波動率」。
在此開始體驗到此公式厲害的地方，可以正的用，也可以倒過來用。當我們把波動率 sigma 留空，公式結果帶入「市價」，用「最佳化」的方法中最簡單的「暴力窮舉法」，就可以反推出公式中的 sigma 的值，這正是電腦所擅長的工作。所以沒有新公式，只有新的程式，chatGPT 秒給出答案，注意有用到 scipy.optimize 套件：
from scipy.stats import norm
from scipy.optimize import brentq
def implied_volatility(option_quote, option_type, F, K, T, r):
try:
# 定義方程式：理論價 - 市場價 = 0
f = lambda sigma: black_76_option_price(F, K, T, r, sigma, option_type) - option_quote
# 在 0.01 到 3 之間搜尋解（即 1% ~ 300% 年化波動率）
result = brentq(f, 1e-4, 3.0)
if np.isnan(result):
return 0
else:
return result
except:
return 0
以上，觀察隱含波動率 (Implied Volatility，後續簡稱 IV)，對比歷史波動率 (Historical Volatility，後續簡稱 HV)，可知目前的「市場氛圍」是否朝向更大或更小的不確定性發展。因為有選擇權商品，讓這種虛無飄渺的東西可以量化，變大可以說「市場覺得恐慌」，變小可以說「情緒歸於穩定」。而這種恐慌或穩定，理論上是沒有方向性的，向上或向下震盪，都是震盪，與一般純做多投資人所思考的「上漲或下跌」很不一樣，選擇權所打開的，好像是另一個世界，數字遊戲進到新的境界。
計算市場整體 IV，引出 Vega and Delta...
以上所計算的 IV，區分買權與賣權，且每一個履約價都有，那如何用「單一數字」去呈現出全市場狀態？顯然「價平」選擇權的 IV 是最具參考性的。舉例假設說，正 1000 點的選擇權，雖然有人交易，但那些「極端樂觀」與極端悲觀的人，相對較少，要反映出「整體市場」狀態，顯然有權重大小之分，以各履約價的「波動率對選擇權價格」的影響力為權重，就是合理的設定，這就是奧秘的 Vega。Vega 定義就是，選擇權價格，對波動率，的偏微分。這再度表現出 Black-Scholes 模型的威力，他可以正的用，倒著用，現在就來「側著用」，或切入一塊結構，取出關鍵意義指標，這模型真是全身都是寶！
因此，Vega-weighted IV 可以用來代表整體 IV。若要得到更精確的值，還有 CBOE 的 VIX 算法，但實在太複雜了，就不再折磨自己了。 Vega 的推導過程當然是交給偉大的數學家了，我們恭敬的套用他們所產生的美麗公式，再重述其意義加強記憶，「波動率變動 1%，相對的選擇權價格會變動多少錢」：
至於 Delta，意義很容易理解，就是標的物變動一點時，對應的選擇權會變動幾點，或說「選擇權相對於標的物價格的敏感度」，通常價平的 Delta 大約是 0.5 左右。算法都是出自於 Black-Schole 原始公式的變形，非常強大：
從 Delta 意義來解讀，可說是「選擇權對標的物價格」的敏感度，就是一階微分，或說「選擇權隨標的價變化的速度」。Vega and Delta 程式備妥如下：
def black76_vega(F, K, T, r, sigma):
d1 = (np.log(F / K) + 0.5 * sigma ** 2 * T) / (sigma * np.sqrt(T))
vega = F * np.exp(-r * T) * norm.pdf(d1) * np.sqrt(T)
return vega/100 # 每變動 0.01 (即 1%) 的 σ 對應多少價格點變化
def black76_delta(F, K, T, r, sigma, option_type):
d1 = (np.log(F / K) + 0.5 * sigma**2 * T) / (sigma * np.sqrt(T))
if option_type.lower() == 'call':
delta = np.exp(-r * T) * norm.cdf(d1)
elif option_type.lower() == 'put':
delta = -np.exp(-r * T) * norm.cdf(-d1)
else:
raise ValueError("option_type must be 'call' or 'put'")
return delta
Gamma and Theta
理解了一階微分，當然也可以二次微分，因此又誕生了一個指標 Gamma，就是「選擇權隨標的變化的加速度」，或說「delta 隨標的價變化的速度」真是有趣。
還有一個 Theta，就是對到期時間 T 的微分，代表時間價值，每天會衰減多少。這對於賣方有一定重要性，所以也算一下。
def black76_theta(option_type, F, K, T, r, sigma):
"""
option_type: 'call' or 'put'
F: 期貨價格
K: 履約價
T: 到期時間（以年為單位，例如 10 天 = 10/365）
r: 無風險利率
sigma: 年化波動率
回傳：每日 Theta
"""
d1 = (np.log(F / K) + 0.5 * sigma**2 * T) / (sigma * np.sqrt(T))
d2 = d1 - sigma * np.sqrt(T)
Nd1_prime = norm.pdf(d1)
first_term = - (F * np.exp(-r * T) * Nd1_prime * sigma) / (2 * np.sqrt(T))
if option_type.lower() == 'call':
second_term = r * K * np.exp(-r * T) * norm.cdf(d2)
elif option_type.lower() == 'put':
second_term = - r * K * np.exp(-r * T) * norm.cdf(-d2)
else:
raise ValueError("option_type must be 'call' or 'put'")
theta_annual = first_term + second_term
theta_daily = theta_annual / 365 # 每日衰減
return theta_daily
def black76_gamma(self, F, K, T, r, sigma):
"""
Black-76 Gamma (d^2 Option Price / dF^2)
Parameters
----------
F : float
Forward price
K : float
Strike
T : float
Time to maturity (in years)
r : float
Risk-free rate
sigma : float
Volatility
Returns
-------
gamma : float
"""
if T <= 0 or sigma <= 0 or F <= 0:
return 0.0
d1 = (np.log(F / K) + 0.5 * sigma ** 2 * T) / (sigma * np.sqrt(T))
gamma = (
np.exp(-r * T)
* norm.pdf(d1)
/ (F * sigma * np.sqrt(T))
)
return gamma
以上修修補補，勤能補拙，不知不覺我已經擁有一個大表了，一堆資訊巨細彌遺，應有盡有：
初步觀察以上表格，現在是 5/23 下午盤，五月份期貨剛剛結算不久，進到新的月份，到期日還遠，觀察 Theta，權利金一天會衰減 7 點多，偏大；IV 21.6 % 也稍微大於 HV 18.3 %。自己掌握所有數據的好處，就是下午盤可以繼續跳動，而證交所提供的波動率指數只有上午盤有，且只有一個數字，看不到「內部結構」。
IV 結構，微笑或歪斜...
IV 作為解讀市場氛圍的重要數據，如何榨出更多資訊？既然每一個履約價都有一組 IV，代表價外 (OTM，Out of The Money)，價內 (ITM，In The Money)，價平 (ATM，At The Money)，的市場參與者，對風險的期望有些微不同，一般而言，價外的 IV 較高，所以連起來會呈現一個微笑，在此領域已經成為標準術語了，觀察 IV Smile Chart 兩端翹得多高，若很高適合做賣方；或是歪斜 (Skew)，通常空方翹得比較高，若非常斜，可能是相當強的看空訊號。把所有 OTM IV 串起來，計算一次回歸直線，其「斜率」就成為好用的指標 skew index，越斜越偏空。
另一個指標也會微笑，只是它是倒著笑，哈哈，就是 Vega，在 ATM 通常較高，兩側遞減。若 Vega Smile 非常扁平，表示市場預期市況穩定；反之若非常集中突起，表示預期有重大風險。所有的圖，都畫出來如下：
從上圖可見 IV Smile 明顯左傾，表示市場的偏空情緒，Vega Smile 只是正常的鐘型，各項數據需要觀察一陣子才會比較有感。雖然算出一堆數據，下單程序也都已經準備好了，但要組成有用的交易策略，還是非常不容易，賺錢難啊！但至少在開發過程，對模型的各種邏輯結構，了解更多一些，日後思考時可以有更多的素材。
Newman 2025/5/21
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